Poussée du Remblai sur Mur de Soutènement

Contexte : Mouvements de Terres et TerrassementLe terrassement est l'art de modifier le terrain (déblais, remblais) pour un projet. La gestion des mouvements de terres est au cœur de cette discipline..

Lors des travaux de terrassement, la mise en place du remblai derrière le mur est une phase critique. Ce sol, qu'il provienne d'un déblai sur site ou d'un apport extérieur, exerce une poussée naturelle sur le mur, appelée "poussée des terres". Ne pas la calculer correctement peut entraîner le basculement ou le glissement du mur. Cet exercice se concentre sur le calcul de la poussée activeLa force minimale que le sol exerce sur le mur lorsque celui-ci se déplace légèrement vers l'extérieur, "activant" la résistance du sol., selon la théorie de Rankine, pour un remblai simple.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à quantifier la force qu'un remblai (un "mouvement de terre" contrôlé) exerce sur un mur. C'est une étape fondamentale pour valider le phasage du chantier et la stabilité de l'ouvrage de terrassement.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et appliquer la théorie de la poussée active de Rankine.
Calculer le coefficient de poussée active (\(K_a\)).
Déterminer la distribution de la contrainte active et calculer la force de poussée résultante (\(P_a\)).
Identifier le point d'application de la force et calculer le moment de renversement (\(M_o\)).

Données de l'étude

On étudie un mur de soutènement vertical de 6 mètres de hauteur, retenant un remblai horizontal. Le sol est un sable limoneux dont les caractéristiques sont déterminées.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type d'ouvrage	Mur de soutènement poids vertical
Hauteur du mur (H)	6,0 m
Configuration du remblai	Horizontal (\(\beta = 0°\))
Interface Mur/Sol	Lisse (\(\delta = 0°\))

Schéma de l'étude

Paramètre	Description	Valeur	Unité
\(H\)	Hauteur du mur	6.0	m
\(\gamma\)	Poids volumique total du sol	18	kN/m³
\(\phi'\)	Angle de frottement interne effectif	30	°
\(c'\)	Cohésion effective	0	kPa

Questions à traiter

Calculer le coefficient de poussée active des terres (\(K_a\)) selon la théorie de Rankine.
Déterminer la contrainte de poussée active maximale (\(\sigma'_{a,max}\)) à la base du mur (à z = H).
Calculer la résultante de la poussée active (\(P_a\)) par mètre linéaire de mur.
Déterminer le point d'application (\(y_a\)) de cette résultante, mesuré depuis la base du mur.
Calculer le moment de renversement (\(M_o\)) induit par cette poussée par rapport à la base du mur (point en pied de mur côté intérieur).

Rappels : Interaction Sol-Ouvrage en Terrassement

Pour qu'un mur de soutènement soit stable, il doit résister à la force exercée par le sol qu'il retient. La théorie de Rankine (1857) est une méthode classique pour évaluer cette force dans le cas de sols pulvérulents (sans cohésion, comme le sable) et d'une interface mur-sol lisse.

1. Coefficient de Poussée Active (\(K_a\))
Le sol n'est pas un fluide parfait. Il a une résistance interne due au frottement entre les grains (mesurée par \(\phi'\)). La poussée "active" se produit lorsque le mur s'éloigne légèrement du sol, permettant au sol d'atteindre son état d'équilibre minimal. \(K_a\) est un coefficient réducteur (toujours < 1) qui transforme la contrainte verticale (due au poids du sol) en contrainte horizontale (la poussée). \[ K_a = \frac{1 - \sin(\phi')}{1 + \sin(\phi')} = \tan^2\left(45° - \frac{\phi'}{2}\right) \]

2. Contrainte et Force Résultante
La contrainte verticale à une profondeur \(z\) est \(\sigma'_v(z) = \gamma \cdot z\). La contrainte horizontale active est donc \(\sigma'_a(z) = K_a \cdot \sigma'_v(z) = K_a \cdot \gamma \cdot z\). Cette distribution est linéaire (triangulaire), partant de 0 à la surface (z=0) jusqu'à \(\sigma'_{a,max}\) à la base (z=H). La force résultante \(P_a\) est simplement l'aire de ce triangle. \[ P_a = \text{Aire} = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{hauteur} = \frac{1}{2} \cdot (\sigma'_{a,max}) \cdot H = \frac{1}{2} K_a \gamma H^2 \]

Correction : Poussée du Remblai sur Mur de Soutènement

Question 1 : Calculer le coefficient de poussée active (\(K_a\)).

Principe

La première étape consiste à déterminer le rapport entre la contrainte horizontale exercée par le sol et la contrainte verticale (poids du sol). Ce rapport est le coefficient de poussée active \(K_a\). Il dépend uniquement de l'angle de frottement interne \(\phi'\) du sol.

Mini-Cours

La théorie de Rankine pour la poussée active s'applique à un sol sans cohésion (\(c'=0\)), un remblai horizontal (\(\beta=0\)) et une interface mur-sol lisse (\(\delta=0\)). Toutes ces hypothèses sont vérifiées dans l'énoncé. La formule est donc directement applicable.

Remarque Pédagogique

Notez que si l'angle de frottement \(\phi'\) augmente (le sol est "meilleur", plus résistant), \(K_a\) diminue. Un sol avec un bon frottement se "tient" mieux et pousse moins sur le mur.

Normes

Cette approche est conforme aux principes fondamentaux de la mécanique des sols enseignés et utilisés en ingénierie civile, et constitue la base des calculs décrits dans des normes comme l'Eurocode 7 (Calcul géotechnique).

Formule(s)

Coefficient de Poussée Active (Rankine)

K_a = \tan^2\left(45° - \frac{\phi'}{2}\right)

Hypothèses

On utilise les hypothèses de Rankine :

Sol pulvérulent (\(c' = 0\))
Remblai horizontal (\(\beta = 0°\))
Mur vertical et interface lisse (\(\delta = 0°\))
Le mur est suffisamment flexible pour permettre l'état "actif".

Donnée(s)

La seule donnée nécessaire pour cette question est l'angle de frottement interne.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Angle de frottement interne	\(\phi'\)	30	°

Astuces

Pour \(\phi' = 30°\), le calcul est simple : \(45° - 30°/2 = 45° - 15° = 30°\). La tangente de 30° est \(1/\sqrt{3}\). Au carré, cela donne \(1/3\). C'est une valeur très courante dans les exercices.

Schéma (Avant les calculs)

Le calcul de \(K_a\) est une étape préliminaire purement basée sur les propriétés du sol, avant de considérer la géométrie du mur.

Cercle de Mohr pour l'état actif (conceptuel)

Calcul(s)

On part de la formule de Rankine pour \(K_a\). Les étapes sont les suivantes :

Étape 1 : Remplacer \(\phi'\) par sa valeur

On prend la valeur de l'énoncé, \(\phi' = 30°\), et on l'insère dans la formule.

K_a = \tan^2\left(45° - \frac{30°}{2}\right)

Étape 2 : Calculer l'angle à l'intérieur de la tangente

On résout l'opération dans la parenthèse : \(\frac{30°}{2} = 15°\), puis \(45° - 15° = 30°\).

K_a = \tan^2\left(30°\right)

Étape 3 : Calculer la valeur de la tangente et la mettre au carré

La tangente de 30° est une valeur connue : \(\tan(30°) \approx 0.577\), ou exactement \(\frac{1}{\sqrt{3}}\). On met ensuite cette valeur au carré.

\begin{aligned} K_a &= \left(\tan(30°)\right)^2 \\ &= \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \\ &= \frac{1^2}{(\sqrt{3})^2} \\ &= \frac{1}{3} \end{aligned}

Étape 4 : Résultat numérique

On convertit la fraction en valeur décimale pour les calculs futurs.

K_a \approx 0.333

Schéma (Après les calculs)

Pour cette première question, le résultat est le coefficient \(K_a\). Ce n'est pas une grandeur physique que l'on peut dessiner directement (comme une force ou une contrainte). C'est une propriété intrinsèque du sol qui va *définir* la géométrie des schémas des questions suivantes. On peut le considérer comme la "clé" qui déverrouille les calculs de contrainte et de force.

Réflexions

Un \(K_a\) de 1/3 signifie que la poussée horizontale (active) du sol est égale à un tiers de sa contrainte verticale (son poids). C'est une réduction significative, qui illustre la résistance interne du sol.

Points de vigilance

Assurez-vous que votre calculatrice est en mode "degrés" et non "radians" lorsque vous effectuez le calcul trigonométrique.

Points à retenir

La poussée active est calculée avec \(K_a\).
\(K_a = \tan^2(45° - \phi'/2)\) pour un sol de Rankine.

Le saviez-vous ?

Il existe aussi une "poussée passive" (\(K_p\)), qui est la résistance maximale que le sol peut opposer (quand on pousse *sur* lui). Pour \(\phi' = 30°\), \(K_p = 3\). La résistance passive est bien plus grande que la poussée active (\(K_p > K_a\)).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le coefficient de poussée active des terres est \(K_a = 1/3 \approx 0.333\).

A vous de jouer

Calculez \(K_a\) pour un sol plus lâche avec un \(\phi' = 28°\).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Coefficient de poussée active.
Formule Essentielle : \(K_a = \tan^2(45° - \phi'/2)\).
Valeur pour \(\phi'=30°\) : \(K_a = 1/3\).

Question 2 : Déterminer la contrainte de poussée active maximale (\(\sigma'_{a,max}\)).

Principe

La contrainte de poussée dans le sol n'est pas uniforme. Comme le poids du sol s'accumule avec la profondeur, la contrainte verticale \(\sigma'_v\) augmente. Par conséquent, la contrainte horizontale active \(\sigma'_a\), qui est proportionnelle, augmente aussi. Elle est nulle à la surface (profondeur z=0) et atteint sa valeur maximale à la base du mur (profondeur z=H).

Mini-Cours

La contrainte verticale effective à une profondeur \(z\) est simplement le poids du sol au-dessus : \(\sigma'_v(z) = \gamma \cdot z\). La contrainte horizontale active est cette contrainte verticale "réduite" par le coefficient \(K_a\) : \(\sigma'_a(z) = K_a \cdot \sigma'_v(z)\). En combinant, on obtient la formule de distribution de la contrainte : \(\sigma'_a(z) = K_a \cdot \gamma \cdot z\). Pour trouver la contrainte maximale, on se place à la profondeur maximale, \(z = H\).

Remarque Pédagogique

La formule \(\sigma'_a(z) = (K_a \cdot \gamma) \cdot z\) est une équation de droite (de type y = ax). C'est pourquoi le diagramme des contraintes a une forme de triangle : il part de 0 et augmente linéairement jusqu'à sa valeur maximale \(\sigma'_{a,max}\) à la base.

Normes

C'est une application directe des principes de la mécanique des sols. L'Eurocode 7 (NF EN 1997-1), la norme européenne pour le calcul géotechnique, stipule que la pression des terres doit être calculée en fonction des propriétés effectives du sol (\(\phi'\), \(\gamma\)) et de la géométrie (\(H\)).

Formule(s)

Contrainte active à une profondeur z

\sigma'_a(z) = K_a \cdot \gamma \cdot z

Contrainte active maximale (à z=H)

\sigma'_{a,max} = K_a \cdot \gamma \cdot H

Hypothèses

En plus des hypothèses de Rankine (sol sans cohésion, mur lisse, remblai horizontal), nous supposons que le poids volumique \(\gamma\) est constant sur toute la hauteur (sol homogène) et qu'il n'y a pas de nappe phréatique (sinon il faudrait décomposer le calcul avec la poussée de l'eau).

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé et le résultat de la Q1.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Coefficient de poussée active	\(K_a\)	1/3	-
Poids volumique	\(\gamma\)	18	kN/m³
Hauteur du mur	\(H\)	6	m

Astuces

Pour \(\phi' = 30°\), on a \(K_a = 1/3\). Avec \(\gamma = 18\) kN/m³, le produit \(K_a \cdot \gamma\) vaut \((1/3) \times 18 = 6\). Le calcul devient très simple : la contrainte maximale est juste \(6 \times H\). C'est un bon raccourci mental.

Schéma (Avant les calculs)

Conceptuellement, nous cherchons la valeur de la base du triangle de poussée.

Diagramme de Contrainte Cible

Calcul(s)

On utilise la formule \(\sigma'_{a,max} = K_a \cdot \gamma \cdot H\) avec les valeurs que nous connaissons.

Étape 1 : Remplacer les symboles par leurs valeurs

On prend \(K_a = 1/3\), \(\gamma = 18 \text{ kN/m}³\), et \(H = 6 \text{ m}\).

\sigma'_{a,max} = \left(\frac{1}{3}\right) \cdot (18 \text{ kN/m}³) \cdot (6 \text{ m})

Étape 2 : Calculer le produit des termes

On peut multiplier dans l'ordre que l'on souhaite. Commençons par \(K_a \cdot \gamma\) : \(\frac{1}{3} \times 18 = 6\). L'unité est \(\text{kN/m}³\).

\sigma'_{a,max} = (6 \text{ kN/m}³) \cdot (6 \text{ m})

Étape 3 : Calcul final et analyse des unités

On multiplie \(6 \times 6 = 36\). Pour les unités, on multiplie \(\text{kN/m}³\) par \(\text{m}\), ce qui donne \(\text{kN/m}²\).

\begin{aligned} \sigma'_{a,max} &= 36 \text{ kN/m}² \\ &= 36 \text{ kPa} \end{aligned}

Étape 4 : Conversion en kiloPascals (kPa)

Conversion finale : Un \(\text{kN/m}²\) est par définition un kiloPascal (\(\text{kPa}\)).

Schéma (Après les calculs)

Ce calcul nous donne la base du diagramme de poussée triangulaire.

Diagramme de Contrainte Active

Réflexions

La contrainte de 36 kPa (ou 36 kN/m²) est la pression exercée par le sol tout en bas du mur. C'est l'équivalent d'environ 3,6 tonnes de force réparties sur chaque mètre carré à cette profondeur.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est une erreur d'unité. Vérifiez que \(\text{kN/m}³ \times \text{m} = \text{kN/m}²\). Un \(\text{kN/m}²\) est un \(\text{kPa}\) (kiloPascal). La cohérence est clé.

Points à retenir

La contrainte active est linéaire et croît avec la profondeur.
\(\sigma'_{a,max} = K_a \cdot \gamma \cdot H\).

Le saviez-vous ?

Si le remblai était de l'eau (\(\gamma_w \approx 10\) kN/m³), la "poussée" serait \(\sigma_w = \gamma_w \cdot z\). L'eau n'a pas de frottement interne (\(\phi'=0\)), donc son \(K_a = \tan^2(45^\circ) = 1\). La poussée de l'eau (poussée hydrostatique) est bien plus forte que celle d'un sol.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La contrainte de poussée active maximale à la base du mur est \(\sigma'_{a,max} = 36 \text{ kPa}\).

A vous de jouer

En gardant \(K_a=1/3\) et \(\gamma=18\) kN/m³, quelle serait \(\sigma'_{a,max}\) si le mur ne faisait que 5m de haut ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Contrainte max à la base.
Formule Essentielle : \(\sigma'_{a,max} = K_a \cdot \gamma \cdot H\).

Question 3 : Calculer la résultante de la poussée active (\(P_a\)).

Principe

Le mur ne "sent" pas une infinité de petites contraintes, mais une force globale unique. Cette force, appelée "résultante" et notée \(P_a\), est l'effet combiné de toutes les contraintes sur la hauteur du mur. Elle se calcule simplement en trouvant l'aire du diagramme de contrainte (qui est un triangle).

Mini-Cours

En statique, une charge répartie (comme notre contrainte triangulaire) peut être remplacée par une force ponctuelle unique (la résultante) pour simplifier les calculs de stabilité. L'intensité de cette force est égale à l'aire de la charge répartie. Pour un triangle, l'aire est \(\frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{hauteur}\). Dans notre cas, la "base" du triangle est \(\sigma'_{a,max}\) et sa "hauteur" est \(H\).

Remarque Pédagogique

Il y a deux façons d'arriver au même résultat :
1. Utiliser le résultat de la Q2 : \(P_a = \frac{1}{2} \cdot \sigma'_{a,max} \cdot H\)
2. Combiner toutes les formules : \(P_a = \frac{1}{2} \cdot (K_a \gamma H) \cdot H = \frac{1}{2} K_a \gamma H^2\)
La deuxième formule est très utile car elle montre que la force de poussée augmente avec le *carré* de la hauteur.

Normes

Ce calcul est une application directe de l'intégration des contraintes, un principe de base de la Résistance des Matériaux (RDM) et de la statique des structures, utilisé pour transformer une charge répartie en une force ponctuelle équivalente.

Formule(s)

Aire d'un triangle

\text{Aire} = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{hauteur}

Résultante de poussée \(P_a\)

P_a = \frac{1}{2} \cdot \sigma'_{a,max} \cdot H \quad \text{ou} \quad P_a = \frac{1}{2} K_a \gamma H^2

Hypothèses

Nous supposons que la distribution de contrainte est bien linéaire (triangulaire), ce qui découle des hypothèses de Rankine. L'intégration (le calcul de l'aire) est donc géométriquement exacte.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats et données des questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Contrainte max	\(\sigma'_{a,max}\)	36	kPa (kN/m²)
Hauteur du mur	\(H\)	6	m

Astuces

Faites attention aux unités. Vous multipliez une contrainte (\(\text{kN/m}²\)) par une hauteur (\(\text{m}\)). Le résultat est en \(\text{kN/m}\) (kiloNewtons par mètre). C'est une force *par mètre linéaire* de mur, ce qui est logique.

Schéma (Avant les calculs)

Nous calculons l'aire du triangle de contrainte que nous avons dessiné à l'étape précédente.

Calcul de l'Aire du Diagramme

Calcul(s)

Nous allons calculer l'aire du triangle de poussée. La base du triangle est \(\sigma'_{a,max}\) et sa hauteur est \(H\).

Méthode 1 : Utiliser le résultat de la Q2

On utilise la formule \(P_a = \frac{1}{2} \cdot \sigma'_{a,max} \cdot H\) avec \(\sigma'_{a,max} = 36 \text{ kN/m}²\) et \(H = 6 \text{ m}\).

\begin{aligned} P_a &= \frac{1}{2} \cdot (36 \text{ kN/m}²) \cdot (6 \text{ m}) \\ &= (18 \text{ kN/m}²) \cdot (6 \text{ m}) \\ &= 108 \text{ kN/m} \end{aligned}

Le calcul est détaillé ci-dessus, montrant la simplification de \(\frac{1}{2} \times 36\) en \(18\), puis le produit final. Les unités \(\text{kN/m}² \times \text{m}\) se simplifient en \(\text{kN/m}\).

Méthode 2 : Utiliser la formule combinée (Vérification)

On utilise \(P_a = \frac{1}{2} K_a \gamma H^2\) avec les données de base : \(K_a = 1/3\), \(\gamma = 18 \text{ kN/m}³\), \(H = 6 \text{ m}\).

\begin{aligned} P_a &= \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right) \cdot (18 \text{ kN/m}³) \cdot (6 \text{ m})^2 \\ &= \left(\frac{1}{6}\right) \cdot (18 \text{ kN/m}³) \cdot (36 \text{ m}²) \\ &= (3 \text{ kN/m}³) \cdot (36 \text{ m}²) \\ &= 108 \text{ kN/m} \end{aligned}

Les étapes de calcul (calcul de \(H^2\), simplification des fractions) sont alignées ci-dessus. Les unités \(\text{kN/m}³ \times \text{m}²\) se simplifient en \(\text{kN/m}\). Les deux méthodes concordent.

Schéma (Après les calculs)

On peut maintenant remplacer conceptuellement le diagramme de charge triangulaire par une seule force ponctuelle \(P_a\).

Force Résultante Équivalente

Réflexions

Le résultat est en "kN/m" (kiloNewton par mètre). Cela signifie que pour chaque mètre de longueur du mur (dans la direction perpendiculaire à l'écran), le mur subit une force de 108 kN (environ 10,8 tonnes).

Points de vigilance

Ne confondez pas la contrainte (une pression, en kPa ou kN/m²) avec la force résultante (une force par mètre linéaire, en kN/m). La force est l'intégrale (l'aire) de la contrainte.

Points à retenir

La force de poussée \(P_a\) est l'aire du diagramme de contrainte.
\(P_a = \frac{1}{2} K_a \gamma H^2\).
La poussée augmente avec le *carré* de la hauteur.

Le saviez-vous ?

Le fait que la poussée augmente avec le carré de la hauteur est critique. Si vous doublez la hauteur d'un mur (ex: de 3m à 6m), vous ne doublez pas la poussée, vous la quadruplez (\(2^2 = 4\)) ! C'est pourquoi les très hauts murs de soutènement sont des ouvrages si complexes.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La résultante de la poussée active est \(P_a = 108 \text{ kN/m}\).

A vous de jouer

En utilisant le résultat \(\sigma'_{a,max} = 30 \text{ kPa}\) pour un mur de 5m (de la Q2), quel serait le \(P_a\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Force résultante = Aire du diagramme.
Formule Essentielle : \(P_a = \frac{1}{2} \sigma'_{a,max} H\).

Question 4 : Déterminer le point d'application (\(y_a\)) de cette résultante.

Principe

Maintenant que nous avons la force totale \(P_a\), nous devons savoir où elle s'applique sur le mur. Une force appliquée tout en haut n'a pas le même effet qu'une force appliquée tout en bas. Le point d'application correspond au "centre de gravité" (ou centroïde) du diagramme de charge triangulaire.

Mini-Cours

Pour un triangle, le centre de gravité est toujours situé à une distance de \(\frac{1}{3}\) de sa base. Dans notre cas, le diagramme de poussée est un triangle dont la "base" (le côté le plus large, \(\sigma'_{a,max}\)) est au bas du mur et la "pointe" (où \(\sigma'_a = 0\)) est en haut. Le point d'application se trouve donc à \(\frac{1}{3}\) de la hauteur totale \(H\), mesuré *depuis la base*.

Remarque Pédagogique

C'est une règle fondamentale : la poussée hydrostatique (eau) ou la poussée de Rankine (sol) s'applique toujours au tiers inférieur du mur. C'est ce bras de levier que nous utiliserons pour calculer le moment de renversement.

Normes

La détermination du point d'application d'une force résultante est une application standard de la statique (calcul de barycentre ou de centroïde), fondamentale pour tous les calculs de moments et de stabilité.

Formule(s)

Centre de gravité d'un triangle

y_G = \frac{\text{Hauteur}}{3} \quad \text{(mesuré depuis la base du triangle)}

Point d'application \(y_a\)

y_a = \frac{H}{3} \quad \text{(mesuré depuis la base du mur)}

Hypothèses

L'hypothèse clé est que la charge est *uniquement* le triangle de poussée de Rankine. S'il y avait d'autres charges (comme une surcharge en tête), la poussée serait trapézoïdale et le centre de gravité ne serait plus à H/3, il remonterait.

Donnée(s)

Seule la hauteur totale du mur est nécessaire.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Hauteur du mur	\(H\)	6	m

Astuces

Attention à la question posée ! On demande le point d'application *depuis la base*. C'est bien \(H/3\). Si on l'avait demandé *depuis la surface*, la réponse aurait été \(2H/3\).

Schéma (Avant les calculs)

Nous cherchons la position verticale du centre de gravité (CG) du triangle de poussée.

Centroïde d'un Triangle

Calcul(s)

On applique la formule du centre de gravité d'un triangle, mesuré depuis sa base (qui est au bas du mur).

Étape 1 : Remplacer H par sa valeur

On prend la hauteur totale du mur, \(H = 6 \text{ m}\).

\begin{aligned} y_a &= \frac{H}{3} \\ &= \frac{6 \text{ m}}{3} \\ &= 2 \text{ m} \end{aligned}

Le calcul est direct, appliquant la hauteur \(H=6m\) à la formule.

Schéma (Après les calculs)

On peut maintenant positionner la force \(P_a\) sur notre schéma.

Application de la Résultante \(P_a\)

Réflexions

La force s'applique à 2m du bas. C'est ce point qui sert de "bras de levier" pour la force qui tente de faire basculer le mur. Si la poussée avait été uniforme (rectangulaire), le point d'application aurait été à H/2 = 3m.

Points de vigilance

Ne pas confondre H/3 et 2H/3. Le moment de renversement est calculé par rapport à la base (le point de pivot), donc le bras de levier est la distance depuis la base, soit H/3.

Points à retenir

Le point d'application d'une charge triangulaire (nulle en haut, max en bas) est à H/3 de la base.
\(y_a = H / 3\).

Le saviez-vous ?

Si une surcharge uniforme \(q\) (comme une route) était ajoutée sur le remblai, elle créerait une poussée rectangulaire \(\sigma_q = K_a \cdot q\). La poussée totale serait alors trapézoïdale (un rectangle + un triangle) et le centre de gravité global ne serait plus à H/3, il serait plus haut.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le point d'application de la résultante se situe à \(y_a = 2 \text{ m}\) de la base du mur.

A vous de jouer

Pour le mur de 5m de haut, où se situe le point d'application \(y_a\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Centre de gravité d'un triangle.
Formule Essentielle : \(y_a = H / 3\).

Question 5 : Calculer le moment de renversement (\(M_o\)).

Principe

Le moment de renversement (\(M_o\), "Overturning Moment") est la mesure de la tendance de la force de poussée à faire "basculer" ou "pivoter" le mur autour de son pied. Il se calcule en multipliant l'intensité de la force (\(P_a\)) par son bras de levier (\(y_a\)). C'est l'action déstabilisatrice clé.

Mini-Cours

En statique, un moment est une force qui crée une rotation. Il est égal à \(\text{Force} \times \text{Distance}\) (où la distance est perpendiculaire à la force, jusqu'au point de pivot). Ici, la force est la poussée \(P_a\) et la distance (le "bras de levier") est la hauteur d'application \(y_a\) par rapport au point de pivot, que l'on prend à la base du mur.

Remarque Pédagogique

C'est ce moment \(M_o\) que le poids propre du mur (le "moment stabilisateur", \(M_s\)) doit contrer. L'ingénieur vérifiera la sécurité au renversement en s'assurant que \(M_s\) est significativement plus grand que \(M_o\) (typiquement \(M_s / M_o \ge 1.5\)).

Normes

Ce calcul fait partie de la vérification de l'état limite de stabilité (STAB) ou d'équilibre (EQU) selon l'Eurocode 7, où l'on compare les moments stabilisateurs (dus au poids) aux moments déstabilisateurs (dus à la poussée).

Formule(s)

Formule du Moment

\text{Moment} = \text{Force} \times \text{Bras de levier}

Moment de renversement \(M_o\)

M_o = P_a \cdot y_a

Hypothèses

Nous supposons que le point de pivot pour le renversement se situe au pied du mur, côté intérieur (point 'O' sur le schéma). C'est l'hypothèse standard pour la vérification au basculement.

Donnée(s)

On utilise les résultats des deux questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résultante de poussée	\(P_a\)	108	kN/m
Point d'application	\(y_a\)	2	m

Astuces

On peut combiner toutes les formules en une seule :
\(M_o = P_a \cdot y_a = (\frac{1}{2} K_a \gamma H^2) \cdot (\frac{H}{3}) = \frac{1}{6} K_a \gamma H^3\).
Notez que le moment augmente avec le *cube* de la hauteur ! Si on double la hauteur du mur, le moment de renversement est multiplié par \(2^3 = 8\).

Schéma (Avant les calculs)

On représente la force et son bras de levier par rapport au point de pivot (le pied du mur).

Calcul du Moment de Renversement

Calcul(s)

On utilise la formule du moment : \(\text{Moment} = \text{Force} \times \text{Bras de levier}\). Ici, la Force est \(P_a\) et le bras de levier est \(y_a\).

Étape 1 : Remplacer les symboles par leurs valeurs

On applique la formule \(M_o = P_a \cdot y_a\) avec les valeurs des questions 3 et 4.

\begin{aligned} M_o &= P_a \cdot y_a \\ &= (108 \text{ kN/m}) \cdot (2 \text{ m}) \\ &= 216 \text{ kN} \cdot \text{m/m} \end{aligned}

Analyse des unités : On multiplie une force par mètre linéaire (\(\text{kN/m}\)) par un bras de levier (\(\text{m}\)). L'unité résultante est un moment par mètre linéaire (\(\text{kN} \cdot \text{m/m}\)).

Schéma (Après les calculs)

Le schéma final montre toutes les informations calculées.

Résultat du Moment de Renversement

Réflexions

Le résultat est en "kN.m/m" (kiloNewton-mètre par mètre linéaire). C'est ce moment que le poids propre du mur (le "moment stabilisateur", \(M_s\)) doit contrer pour assurer la stabilité au renversement. Un ingénieur comparera \(M_o\) à \(M_s\) et s'assurera que \(M_s / M_o \ge 1.5\) (un facteur de sécurité).

Points de vigilance

Attention aux unités. \(\text{kN/m} \times \text{m} = \text{kN} \cdot \text{m/m}\). C'est un moment par mètre linéaire de mur, ce qui est correct.

Points à retenir

Le moment de renversement est la principale action déstabilisatrice.
Il est calculé par rapport au point de pivot, c'est-à-dire le pied du mur.
\(M_o = P_a \cdot (H/3)\).

Le saviez-vous ?

Pour résister à ce moment de 216 kN.m/m, un mur en béton (densité ~2.5) d'1m d'épaisseur devrait avoir une largeur de semelle d'environ 4m pour être stable (en supposant que le poids du mur est la seule stabilisation). Le dimensionnement des fondations est crucial.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le moment de renversement par rapport à la base du mur est \(M_o = 216 \text{ kN} \cdot \text{m/m}\).

A vous de jouer

Pour le mur de 5m, vous aviez \(P_a = 75\) kN/m et \(y_a = 5/3 \approx 1.67\) m. Calculez le \(M_o\).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Moment de renversement.
Formule Essentielle : \(M_o = P_a \cdot y_a\).
Formule combinée : \(M_o = (\frac{1}{2} K_a \gamma H^2) \cdot (\frac{H}{3}) = \frac{1}{6} K_a \gamma H^3\).

Outil Interactif : Simulateur de Poussée

Utilisez les curseurs pour voir comment la hauteur du mur (\(H\)) et l'angle de frottement du sol (\(\phi'\)) influencent la force de poussée totale (\(P_a\)) et le moment de renversement (\(M_o\)). Le poids volumique du sol est fixé à \(\gamma = 18 \text{ kN/m}³\).

Paramètres d'Entrée

Hauteur du mur (\(H\)) (m) 6.0 m

Angle de frottement (\(\phi'\)) (°) 30 °

Résultats Clés

Poussée Totale (\(P_a\)) (kN/m) -

Moment Renversement (\(M_o\)) (kN.m/m) -

Coefficient (\(K_a\)) -

Glossaire

Angle de frottement interne (\(\phi'\)): Une propriété intrinsèque du sol qui mesure la résistance au cisaillement due au frottement entre les grains de sol. Plus il est élevé, plus le sol est "solide".
Coefficient de Poussée Active (\(K_a\)): Rapport adimensionnel (\(\sigma'_h / \sigma'_v\)) qui définit la contrainte horizontale minimale (active) qu'un sol exerce à l'état d'équilibre plastique.
Contrainte (kPa): Force par unité de surface, mesurée en kiloPascals (kPa). 1 kPa = 1 kN/m².
Moment de Renversement (\(M_o\)): Le moment (Force x Distance) généré par la poussée des terres, qui tend à faire basculer le mur autour de son pied. Exprimé en kN.m par mètre linéaire (kN.m/m).
Poussée Active (\(P_a\)): La force de poussée horizontale *minimale* que le remblai exerce sur le mur. Cet état est atteint après un léger déplacement du mur vers l'extérieur.
Poids Volumique (\(\gamma\)): Le poids du sol par unité de volume, mesuré en kiloNewtons par mètre cube (kN/m³).
Résultante: La force unique qui représente l'effet total d'une distribution de contraintes. Pour un triangle, c'est l'aire du triangle.