Calcul et Schématisation d'un Plan de Bornage
Contexte : Le bornageOpération qui consiste à définir et matérialiser les limites physiques et juridiques d'une propriété foncière. d'une parcelle.
Le bornage est une opération cruciale en amont de tout projet de terrassement. Il garantit la définition précise des limites d'une propriété pour implanter correctement les futurs ouvrages (bâtiments, routes, etc.), éviter les litiges de voisinage et assurer la conformité juridique du projet. Cet exercice vous guidera à travers les calculs topographiques fondamentaux pour déterminer les coordonnéesEnsemble de valeurs (X, Y, et parfois Z) qui permettent de définir la position d'un point dans un système de référence donné. de nouvelles bornes à partir de points connus sur le terrain.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la méthode de calcul par rayonnement, une technique de base en topographie utilisée quotidiennement par les géomètres et les techniciens en bureau d'études.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et appliquer la méthode de calcul topographique par rayonnement.
- Calculer le gisementAngle horizontal entre l'axe des ordonnées (Nord) et une direction, mesuré dans le sens horaire. Il est essentiel pour orienter les mesures. d'une direction à partir de coordonnées connues.
- Déterminer les coordonnées rectangulaires (X, Y) d'un point levé sur le terrain.
Données de l'étude
Relevé Topographique
| Point | Coordonnée X (m) | Coordonnée Y (m) |
|---|---|---|
| Station S1 | 752 135.45 | 6 241 890.12 |
| Réf. Clocher | 752 489.91 | 6 242 350.57 |
Schéma de la situation
| Point Visé | Angle Horizontal (Vz) | Distance Horizontale (Dh) |
|---|---|---|
| P1 | 150.25 gon | 85.62 m |
| P2 | 212.75 gon | 98.41 m |
Questions à traiter
- Calculer le gisement de la direction de référence S1 vers Réf. Clocher.
- Calculer le gisement de la direction S1 vers la nouvelle borne P1.
- Calculer les coordonnées (X, Y) de la borne P1.
- En utilisant la même méthode, calculer les coordonnées (X, Y) de la borne P2.
Les bases du calcul topographique
Pour déterminer la position d'un point inconnu, on utilise des points connus (coordonnées X, Y) et des mesures de terrain (angles et distances). La méthode de rayonnement est la plus courante.
1. Le Gisement (G)
Le gisement d'une direction (par exemple, d'un point A vers un point B) est l'angle horizontal mesuré dans le sens horaire entre l'axe des Y (le Nord) et cette direction AB. On le calcule avec les coordonnées des points A et B.
Formules des deltas
Formule du gisement
2. Le Calcul par Rayonnement
Cette méthode permet de calculer les coordonnées d'un point P à partir d'un point connu S (la station) en mesurant la distance horizontale S-P et un angle horizontal. Cet angle est mesuré par rapport à une direction de référence (S-Réf) dont le gisement est connu.
Formule du transport de gisement
Formules de calcul des coordonnées
Correction : Calcul et Schématisation d'un Plan de Bornage
Question 1 : Calculer le gisement de la direction de référence S1 vers Réf. Clocher.
Principe
Le concept physique ici est de s'orienter dans l'espace. Avant de pouvoir situer de nouveaux points, un topographe doit "caler" son instrument. Cela signifie qu'il doit connaître l'angle exact d'une direction connue (ici, S1 vers le Clocher) par rapport à une direction absolue et fixe : le Nord. Cet angle est le gisement.
Mini-Cours
Le gisement est un angle fondamental en topographie. Il est toujours compté dans le sens horaire à partir de la direction du Nord (l'axe des Y). Sa valeur varie de 0 à 400 grades. Le calcul du gisement à partir des coordonnées de deux points A et B se fait en analysant le triangle rectangle formé par les différences de coordonnées \( \Delta X \) et \( \Delta Y \).
Remarque Pédagogique
Avant tout calcul, prenez l'habitude de visualiser la position relative des points. Ici, le X du clocher est plus grand que celui de S1 et son Y est également plus grand. On sait donc immédiatement que la direction est dans le quadrant Nord-Est, ce qui simplifie la détermination de l'angle.
Normes
Les calculs sont effectués dans un système de projection planimétrique. En France métropolitaine, le système légal est le RGF93, associé à la projection Lambert-93. On suppose que toutes les coordonnées fournies sont dans ce même système pour garantir la cohérence.
Formule(s)
Les outils mathématiques pour cette question sont les formules de calcul des différences de coordonnées et la fonction trigonométrique arc tangente.
Formules des deltas
Formule du gisement
Hypothèses
Nous posons les hypothèses suivantes : les coordonnées des points S1 et Réf. Clocher sont exactes et exemptes d'erreur ; le terrain est localement plat, nous travaillons donc en 2D (coordonnées X, Y).
Donnée(s)
Voici les chiffres d'entrée, tirés de l'énoncé, que nous allons utiliser.
| Point | X (m) | Y (m) |
|---|---|---|
| S1 | 752 135.45 | 6 241 890.12 |
| Réf. Clocher | 752 489.91 | 6 242 350.57 |
Astuces
La détermination du quadrant est la clé. Si \( \Delta X > 0 \) et \( \Delta Y > 0 \), G = arctan(|\( \Delta X / \Delta Y \)|). Si \( \Delta X > 0 \) et \( \Delta Y < 0 \) (Sud-Est), G = 200 - arctan(|\( \Delta X / \Delta Y \)|). Si \( \Delta X < 0 \) et \( \Delta Y < 0 \) (Sud-Ouest), G = 200 + arctan(|\( \Delta X / \Delta Y \)|). Si \( \Delta X < 0 \) et \( \Delta Y > 0 \) (Nord-Ouest), G = 400 - arctan(|\( \Delta X / \Delta Y \)|).
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma illustre les points S1 et Réf. Clocher dans un repère, ainsi que les inconnues \( \Delta X \), \( \Delta Y \) et le gisement G à déterminer.
Visualisation du calcul de gisement
Calcul(s)
Calcul de la différence des abscisses \( \Delta X \)
Calcul de la différence des ordonnées \( \Delta Y \)
Calcul du gisement
Comme \( \Delta X \) et \( \Delta Y \) sont positifs (quadrant Nord-Est), le calcul est direct.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma est maintenant mis à jour avec les valeurs calculées, montrant le gisement final de 41.76 gon.
Gisement S1-Réf calculé
Réflexions
Le résultat de 41.76 gon est un angle aigu dans le premier quadrant, ce qui est parfaitement cohérent avec un déplacement positif à la fois en X (vers l'Est) et en Y (vers le Nord). Le résultat a du sens.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'inverser \( \Delta X \) et \( \Delta Y \) dans la formule de l'arc tangente. Une autre erreur classique est une mauvaise gestion des signes ou une mauvaise application de la correction de quadrant. Enfin, vérifiez toujours que votre calculatrice est bien en mode "grades" (gon).
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez ces trois points : 1) Toujours calculer \( \Delta X \) et \( \Delta Y \) en faisant (Point final - Point de départ). 2) La formule de base est G = arctan(\( \Delta X / \Delta Y \)). 3) Toujours vérifier le quadrant avec les signes de \( \Delta X \) et \( \Delta Y \) pour appliquer la bonne correction (+0, +200, -200).
Le saviez-vous ?
L'unité "grade" ou "gon" a été introduite en France après la Révolution, en même temps que le système métrique. L'idée était d'avoir une division décimale de l'angle droit (100 gon) pour simplifier les calculs, contrairement au système sexagésimal (90°) hérité des Babyloniens.
FAQ
Voici les questions les plus fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Pour vérifier votre compréhension, calculez le gisement S1-Réf si les coordonnées du clocher étaient X = 752000.00 m et Y = 6241800.00 m.
Question 2 : Calculer le gisement de la direction S1 vers la nouvelle borne P1.
Principe
Le concept est une rotation. Nous avons déjà un angle de référence (le gisement S1-Réf). L'opérateur sur le terrain mesure un angle supplémentaire entre cette référence et la direction de la nouvelle borne P1. Pour obtenir le gisement de P1, il suffit d'additionner l'angle mesuré à l'angle de référence.
Mini-Cours
En topographie, cette opération s'appelle le "transport de gisement". Le gisement de référence (G_Réf) sert d'origine angulaire pour toutes les mesures effectuées depuis la station S1. Chaque nouvelle direction visée (P1, P2, ...) aura un gisement qui sera la somme du gisement de référence et de la lecture angulaire horizontale (Vz) faite sur l'instrument.
Remarque Pédagogique
Visualisez un compas. Le gisement de référence (41.76 gon) oriente votre compas. Ensuite, vous le faites tourner de l'angle Vz mesuré (150.25 gon) dans le sens des aiguilles d'une montre pour pointer vers P1. La nouvelle direction indiquée est le gisement de P1.
Normes
Les mesures d'angles sur le terrain doivent respecter certaines tolérances de précision définies par les normes professionnelles et les cahiers des charges des projets. Pour un bornage, la précision angulaire est typiquement de l'ordre du centième de grade.
Formule(s)
Formule de transport de gisement
Hypothèses
Nous supposons que la mesure angulaire Vz = 150.25 gon est correcte et que l'instrument (la station totale) était parfaitement calé sur la référence "Clocher" au moment de la mesure.
Donnée(s)
Les données d'entrée pour ce calcul spécifique sont :
- Gisement de référence \( G_{\text{S1-Réf}} \) = 41.76 gon
- Angle horizontal \( Vz_{\text{S1-P1}} \) = 150.25 gon
Astuces
Pensez à la somme des angles comme à une addition sur un cercle. Si le résultat dépasse 400 gon, il faut simplement enlever 400 pour revenir au bon angle. Par exemple, si G_Réf = 350 gon et Vz = 100 gon, le gisement final est 350+100 = 450, soit 450-400 = 50 gon.
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma illustre l'addition des angles : le gisement de référence connu, l'angle Vz mesuré sur le terrain, et le gisement résultant pour P1, qui est l'inconnue.
Schéma du transport de gisement
Calcul(s)
Calcul du gisement de P1
Schéma (Après les calculs)
Le schéma montre la direction finale vers P1, orientée avec son gisement calculé de 192.01 gon par rapport au Nord.
Gisement S1-P1 calculé
Réflexions
Le gisement obtenu, 192.01 gon, est très proche de 200 gon, qui correspond au Sud. Cela signifie que la borne P1 se trouve presque plein Sud par rapport à la station S1. C'est une information précieuse pour vérifier la cohérence des calculs suivants.
Points de vigilance
La principale erreur ici serait une simple faute d'addition. Assurez-vous également de ne pas soustraire l'angle au lieu de l'additionner. L'angle Vz est toujours ajouté dans le sens horaire.
Points à retenir
Pour maîtriser cette étape, retenez que le gisement d'un point rayonné est toujours égal au gisement de la référence de départ plus la lecture angulaire horizontale effectuée sur ce point.
Le saviez-vous ?
Les stations totales modernes peuvent "stocker" le gisement de référence. Une fois l'orientation faite sur le clocher, l'opérateur peut dire à l'appareil "cette direction vaut 41.76 gon". L'instrument affichera alors directement le gisement de chaque point visé, sans que l'opérateur ait à faire l'addition manuellement.
FAQ
Voici les questions les plus fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'angle mesuré vers un point P3 avait été de 380.50 gon, quel aurait été le gisement S1-P3 ? (N'oubliez pas la règle des 400 gon !)
Question 3 : Calculer les coordonnées (X, Y) de la borne P1.
Principe
Nous transformons des coordonnées polaires (une distance et un angle) en coordonnées cartésiennes (X, Y). Connaissant la position de départ (S1), la distance à parcourir (Dh) et la direction à suivre (le gisement G), on peut calculer la position d'arrivée (P1) grâce à la trigonométrie de base dans un triangle rectangle.
Mini-Cours
Les coordonnées d'un point P rayonné depuis une station S sont la somme des coordonnées de la station et des "déplacements" partiels en X et Y. Ce déplacement partiel \( \Delta X \) est calculé par \( D_{\text{h}} \cdot \sin(G) \) et le déplacement partiel \( \Delta Y \) par \( D_{\text{h}} \cdot \cos(G) \). Ces formules découlent directement de la définition du sinus et du cosinus dans le cercle trigonométrique.
Remarque Pédagogique
Pensez à ce calcul comme à un itinéraire. Vous partez du point S1 connu. Les formules vous donnent le "déplacement vers l'Est" (\( \Delta X \)) et le "déplacement vers le Nord" (\( \Delta Y \)) à effectuer pour atteindre P1. Il suffit ensuite d'ajouter ces déplacements à vos coordonnées de départ.
Normes
Il n'y a pas de norme spécifique pour ce calcul de base, mais il est le fondement de toutes les normes d'implantation et de levé topographique qui, elles, définissent les précisions à atteindre pour les points finaux.
Formule(s)
Formules de calcul des déplacements
Formules de calcul des coordonnées finales
Hypothèses
On suppose que les mesures de distance et d'angle sont parfaites et que le système de coordonnées est un plan euclidien (non courbé).
Donnée(s)
Les données d'entrée pour ce calcul spécifique sont :
- Coordonnées de S1 : X = 752135.45 m ; Y = 6241890.12 m
- Distance S1-P1 (Dh) = 85.62 m
- Gisement S1-P1 (G) = 192.01 gon
Astuces
Pour éviter les erreurs de conversion d'angle, si votre calculatrice le permet, mettez-la en mode "Grades". Sinon, faites la conversion (gon * 0.9 = deg) une seule fois et notez la valeur en degrés avant de faire les calculs de sinus et cosinus. C'est plus sûr.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma ci-dessous illustre la relation entre la station, le Nord, le gisement et la distance, formant un triangle rectangle qui est la base du calcul.
Décomposition du calcul pour P1
Calcul(s)
Calcul du déplacement \( \Delta X \)
Calcul de la coordonnée X de P1
Calcul du déplacement \( \Delta Y \)
Calcul de la coordonnée Y de P1
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma positionne les points dans le système de coordonnées et visualise les déplacements calculés.
Positionnement de P1 dans le repère
Réflexions
Le gisement de 192.01 gon est proche du Sud (200 gon). On s'attend donc à un grand déplacement négatif en Y et un petit déplacement positif en X (quadrant Sud-Est). Le calcul donne \( \Delta Y \) = -81.79 m et \( \Delta X \) = +25.30 m, ce qui est parfaitement cohérent avec notre attente.
Points de vigilance
L'erreur la plus critique est l'unité d'angle. Les fonctions SIN et COS de 99% des outils de calcul (calculatrices, tableurs) fonctionnent en degrés ou en radians, JAMAIS en grades. Vous DEVEZ convertir le gisement en grades vers l'unité attendue par votre calculatrice avant d'appliquer la formule. (Conversion : \( \text{angle}_{\text{deg}} = \text{angle}_{\text{gon}} \cdot 0.9 \)).
Points à retenir
La maîtrise de cette question passe par la mémorisation des deux formules clés : \( \Delta X = D \cdot \sin(G) \) et \( \Delta Y = D \cdot \cos(G) \). Retenez que le Sinus est associé à X (Est) et le Cosinus à Y (Nord).
Le saviez-vous ?
Les coordonnées Lambert utilisées en France sont dites "conformes", ce qui signifie qu'elles conservent localement les angles. C'est pour cela que les angles mesurés sur le terrain peuvent être directement utilisés dans les calculs en coordonnées planes, sans déformation (pour des chantiers de taille raisonnable).
FAQ
Voici les questions les plus fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez la coordonnée Y d'un point P5 mesuré avec G=120 gon et Dh=100m depuis S1.
Question 4 : En utilisant la même méthode, calculer les coordonnées (X, Y) de la borne P2.
Principe
Cette question sert à consolider la méthode en l'appliquant une seconde fois. Le principe physique est identique : on utilise une direction orientée (un gisement) et une longueur pour définir un vecteur de déplacement depuis un point connu. C'est la répétition qui ancre la compétence.
Mini-Cours
Le processus en deux temps est la base du rayonnement. Étape 1 : Orientation. On détermine le gisement de la direction vers le point à calculer (\( G_{\text{S1-P2}} \)) en ajoutant la mesure d'angle terrain à l'orientation de base (\( G_{\text{S1-Réf}} \)). Étape 2 : Projection. On projette le vecteur S1P2 (défini par sa longueur \( D_h \) et son angle G) sur les axes X et Y pour trouver les déplacements \( \Delta X \) et \( \Delta Y \).
Remarque Pédagogique
Traitez ce calcul comme un tout nouvel exercice. Repartez des données de base de P2 (\( Vz \) et \( D_h \)) et des données de la station (\( X_{S1}, Y_{S1}, G_{\text{ref}} \)). Ne regardez les calculs de P1 que pour vérifier la méthode, pas les chiffres. Cela vous entraînera à être autonome et à éviter les erreurs de recopie.
Normes
La méthodologie de calcul est universelle. Cependant, les formats de présentation des résultats et des plans de bornage sont souvent régis par les règles de l'Ordre des Géomètres-Experts, qui garantissent la clarté et la valeur juridique des documents produits.
Formule(s)
Formule du transport de gisement
Formules de calcul des coordonnées
Hypothèses
Nous faisons les mêmes hypothèses que pour P1 : les coordonnées de la station et de la référence sont justes, et les mesures d'angle et de distance vers P2 sont également considérées comme exactes.
Donnée(s)
Les données d'entrée pour ce calcul spécifique sont :
- Coordonnées de S1 : X = 752135.45 m ; Y = 6241890.12 m
- Gisement de référence \( G_{\text{S1-Réf}} \) = 41.76 gon
- Angle horizontal \( Vz_{\text{S1-P2}} \) = 212.75 gon
- Distance horizontale \( Dh_{\text{S1-P2}} \) = 98.41 m
Astuces
Avant de calculer sin(G) et cos(G), estimez le résultat. Le gisement \( G_{\text{S1-P2}} \) sera de 41.76 + 212.75 = 254.51 gon. Cet angle est dans le 3ème quadrant (Sud-Ouest, entre 200 et 300 gon). Par conséquent, son sinus et son cosinus doivent être tous les deux négatifs. Si votre calculatrice donne un signe positif, c'est probablement un problème d'unité d'angle !
Schéma (Avant les calculs)
Visualisons les angles avant de calculer. Le schéma montre la référence, l'angle mesuré Vz, et la direction résultante pour P2.
Orientation pour le calcul de P2
Calcul(s)
Calcul du gisement \( G_{\text{S1-P2}} \)
Calcul du déplacement \( \Delta X \)
Calcul de la coordonnée X de P2
Calcul du déplacement \( \Delta Y \)
Calcul de la coordonnée Y de P2
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma positionne le point P2 dans le système de coordonnées et visualise les déplacements calculés.
Positionnement de P2 dans le repère
Réflexions
Comme prévu par notre astuce, le gisement de 254.51 gon (quadrant Sud-Ouest) a produit des déplacements \( \Delta X \) et \( \Delta Y \) négatifs. Le résultat est donc cohérent. Le point P2 se situe bien au Sud et à l'Ouest de notre point de station S1.
Points de vigilance
Attention aux erreurs de transcription. Lors du calcul de plusieurs points, il est facile d'utiliser la distance de P1 pour le calcul de P2 ou inversement. Vérifiez toujours que vous utilisez bien le couple angle/distance correspondant au point que vous calculez.
Points à retenir
Le point clé de cette question est de comprendre que la méthode de rayonnement est un algorithme, une "recette" de calcul qui se répète à l'identique pour chaque point à calculer depuis une même station : 1. Calcul du gisement du point. 2. Calcul du \( \Delta X \). 3. Calcul du \( \Delta Y \). 4. Calcul de X final. 5. Calcul de Y final.
Le saviez-vous ?
Bien que les technologies GNSS (comme le GPS) soient très utilisées, la méthode par rayonnement avec une station totale reste indispensable pour les implantations de haute précision (quelques millimètres), notamment en bâtiment ou pour des ouvrages d'art, là où le GPS n'est pas assez précis ou ne capte pas.
FAQ
Voici les questions les plus fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Imaginez un point P4 mesuré avec \( Vz = 310.00 \) gon et \( D_h = 50.00 \) m. Calculez sa coordonnée X.
Schématisation d'un Plan de Bornage
Le schéma final ci-dessous représente le plan de bornage complet. Il positionne la station de travail S1, les deux nouvelles bornes implantées P1 et P2 avec leurs coordonnées calculées, ainsi que la nouvelle limite de propriété qui les relie. Ce type de plan est le livrable final d'une mission de bornage.
Plan Final avec Coordonnées
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'est-ce qu'un gisement en topographie ?
2. Quelle unité d'angle est principalement utilisée en France pour les travaux topographiques ?
3. Dans la formule \( X_P = X_S + D \cdot \sin(G) \), que représente 'G' ?
4. Pour calculer un gisement G_AB, on trouve \( \Delta X \) positif et \( \Delta Y \) négatif. Dans quel quadrant se situe la direction AB ?
5. L'objectif principal d'un bornage avant un chantier est de :
- Bornage
- Opération qui consiste à définir et matérialiser les limites physiques et juridiques d'une propriété foncière à l'aide de repères appelés "bornes".
- Gisement
- Angle horizontal entre l'axe des ordonnées (généralement le Nord géographique ou Lambert) et une direction donnée. Il est mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre de 0 à 400 grades (ou 360°).
- Rayonnement
- Méthode de levé topographique qui consiste à déterminer la position de points en mesurant leur distance et l'angle horizontal qui les sépare d'une direction de référence, le tout depuis un unique point de station connu.
- Station totale
- Instrument de mesure électronique utilisé par les géomètres pour mesurer des angles horizontaux, des angles verticaux et des distances.
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