Calcul d'une Rampe d'Accès en Déblai
Contexte : Les Mouvements de TerresOpérations de modification du relief d'un terrain, incluant le déblai (excavation) et le remblai (apport de matériaux)..
Dans le cadre d'un projet de construction, il est nécessaire de créer une rampe d'accès temporaire pour permettre aux engins de chantier d'atteindre une plateforme de travail. Cette rampe sera réalisée en déblai, c'est-à-dire en creusant dans le terrain naturel qui présente une pente régulière. Cet exercice a pour but de vous guider dans le calcul du volume de terre à excaver, une étape essentielle pour estimer les coûts et la durée des travaux de terrassement.
Remarque Pédagogique : Cet exercice pratique vous permettra de mobiliser des compétences en géométrie et d'appliquer les formules de base du terrassement, comme la méthode des profils en travers pour le calcul des volumes.
Objectifs Pédagogiques
- Modéliser géométriquement une rampe d'accès en déblai.
- Calculer le volume de terres à excaver en utilisant la méthode des profils en travers.
- Appliquer le coefficient de foisonnement pour déterminer le volume final de matériaux à évacuer.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Pente de la rampe | 8 % |
| Largeur de la plateforme | 4,00 m |
| Pente du terrain naturel | 20 % |
Schéma d'un profil en travers type en déblai
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur de la rampe | \(L\) | 50 | m |
| Pente des talus de déblai (H/V) | \(p\) | 2/3 | sans unité |
| Coefficient de foisonnement | \(C_f\) | 1.20 | sans unité |
Questions à traiter
- Quelle est la dénivelée totale entre le début et la fin de la rampe ?
- Déterminer les hauteurs de déblai \(h_1\) (au début) et \(h_2\) (à la fin de la rampe).
- Calculer les surfaces \(S_1\) et \(S_2\) des profils en travers aux deux extrémités.
- Estimer le volume de déblai \(V_d\) en place par la méthode de la moyenne des aires.
- Calculer le volume total de terres \(V_e\) à évacuer du chantier, en tenant compte du foisonnement.
Bases du Terrassement
Pour résoudre cet exercice, nous utiliserons deux concepts fondamentaux en terrassement : le calcul de volume par profils et la notion de foisonnement des matériaux.
1. Méthode des Profils en Travers (Moyenne des Aires)
Pour calculer le volume de terre entre deux sections ou "profils" \(S_1\) et \(S_2\), espacés d'une distance \(L\), on peut utiliser la formule de la moyenne des aires. C'est une approximation très courante et suffisamment précise pour les projets linéaires.
\[ V = \frac{S_1 + S_2}{2} \times L \]
2. Coefficient de Foisonnement
Lorsqu'un sol est excavé, son volume augmente car les grains de matière se désorganisent et des vides d'air apparaissent. Le volume "foisonné" est le volume que l'on devra transporter. Il se calcule à partir du volume en place (avant excavation).
\[ V_{\text{évacuer}} = V_{\text{en place}} \times C_f \]
Correction : Calcul d'une Rampe d'Accès en Déblai
Question 1 : Quelle est la dénivelée totale entre le début et la fin de la rampe ?
Principe
La dénivelée d'un ouvrage (route, rampe, canalisation) est la différence d'altitude verticale entre son point de départ et son point d'arrivée. Elle se calcule simplement en multipliant la longueur horizontale de l'ouvrage par sa pente.
Mini-Cours
La pente topographique est le rapport entre la différence d'altitude et la distance horizontale entre deux points. Elle s'exprime souvent en pourcentage (%). Une pente de 8% signifie qu'on s'élève ou s'abaisse de 8 mètres verticalement pour chaque 100 mètres parcourus horizontalement.
Remarque Pédagogique
Pensez à toujours convertir les pourcentages en leur valeur décimale (par exemple, 8% devient 0.08) avant de les utiliser dans une multiplication. C'est une source d'erreur très fréquente dans les calculs.
Normes
Bien que ce calcul soit purement géométrique, le choix de la pente maximale pour une rampe de chantier est dicté par des normes de sécurité. En France, les recommandations du guide du SETRA ou de l'INRS fixent des limites pour garantir la stabilité et la motricité des engins de chantier.
Formule(s)
L'outil mathématique est la relation directe entre dénivelée, longueur et pente :
Hypothèses
Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :
- La rampe est une ligne droite.
- La pente de 8% est constante sur toute la longueur de 50 m.
- La longueur de 50 m est la distance horizontale.
Donnée(s)
Nous utilisons les chiffres d'entrée relatifs à la rampe :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur de la rampe | \(L\) | 50 | m |
| Pente de la rampe | \(P_r\) | 8% (soit 0.08) | sans unité |
Astuces
Pour calculer mentalement 8% de 50, il est plus simple de calculer 50% de 8. C'est la même chose ! La moitié de 8 est 4. Le résultat est donc 4 m.
Schéma (Avant les calculs)
Vue en profil de la rampe
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Vue en profil de la rampe avec résultat
Réflexions
Une dénivelée de 4 mètres sur 50 mètres est une pente notable, accessible pour la plupart des engins de chantier, mais qui demande une conduite attentive, surtout par temps de pluie ou si le sol est meuble.
Points de vigilance
L'erreur classique est de confondre la pente de la rampe (le projet) avec celle du terrain naturel pour ce calcul. Chaque élément a sa propre pente, il est crucial de ne pas les intervertir.
Points à retenir
La dénivelée est le produit direct de la longueur et de la pente (exprimée en décimal). C'est la base de tout projet linéaire en terrassement.
Le saviez-vous ?
Les voies romaines, réputées pour leur rectitude, dépassaient rarement les 8% de pente pour permettre aux chariots tirés par des animaux de circuler sans difficulté sur de longues distances. La gestion des pentes était déjà un enjeu majeur il y a 2000 ans !
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet :
Résultat Final
A vous de jouer
Si la rampe faisait 80 m de long avec la même pente, quelle serait la dénivelée ?
Question 2 : Déterminer les hauteurs de déblai \(h_1\) et \(h_2\).
Principe
La hauteur de déblai en un point est la différence d'altitude verticale entre le terrain naturel (TN) et le projet fini (la plateforme de la rampe). Au début, la rampe se raccorde au TN, donc la hauteur est nulle. À la fin, la hauteur de déblai est la différence entre la "descente" totale du TN et la "descente" de la rampe.
Mini-Cours
En terrassement, un projet est défini par son "profil en long" (sa ligne de pente). La hauteur de terrassement (déblai ou remblai) en un point est toujours la différence : \(h = Z_{\text{TN}} - Z_{\text{Projet}}\). Si \(h > 0\), on est en déblai. Si \(h < 0\), on est en remblai.
Remarque Pédagogique
Visualisez les deux pentes comme deux lignes partant du même point. L'une (le terrain naturel) plonge plus vite que l'autre (la rampe). La hauteur de déblai à la fin est simplement l'écart vertical entre ces deux lignes après 50 mètres.
Normes
Les plans de terrassement, comme les profils en long, doivent suivre des conventions de dessin et de représentation définies par les normes (par exemple, la norme NF P02-005 en France) pour être lisibles et interprétables par tous les corps de métier.
Formule(s)
La formule de la dénivelée est utilisée pour chaque profil :
Puis on calcule la hauteur finale par soustraction :
Hypothèses
Nous supposons que le point de départ de la rampe (PK 0) a une altitude de référence où \(Z_{\text{TN}} = Z_{\text{Projet}}\). Nous supposons également que la pente du terrain naturel est constante sur les 50 m.
Donnée(s)
On utilise toutes les données de pente et la longueur.
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Pente de la rampe | 8% |
| Pente du terrain naturel | 20% |
| Longueur | 50 m |
Astuces
On peut directement calculer la hauteur finale en multipliant la longueur par la *différence* des pentes : \(h_2 = L \times (P_{\text{TN}} - P_{\text{rampe}}) = 50 \times (0.20 - 0.08) = 50 \times 0.12 = 6\) m. C'est plus rapide !
Schéma (Avant les calculs)
Superposition du profil en long du TN et du projet
Calcul(s)
Hauteur de déblai au début (\(h_1\))
Dénivelée du terrain naturel
Dénivelée de la rampe
Hauteur de déblai à la fin (\(h_2\))
Schéma (Après les calculs)
Profil en long avec hauteurs de déblai
Réflexions
Une hauteur de déblai de 6 mètres à la fin de la rampe est conséquente. Cela signifie qu'à cet endroit, la route sera 6 mètres en dessous du niveau du sol d'origine, ce qui nécessitera des talus importants pour assurer la stabilité des terres.
Points de vigilance
Veillez à bien soustraire la dénivelée du projet de celle du terrain naturel (\(Z_{\text{TN}} - Z_{\text{Projet}}\)), et non l'inverse, pour obtenir une hauteur de déblai positive.
Points à retenir
La hauteur de déblai est l'écart vertical entre le terrain et le projet. Elle est une donnée d'entrée fondamentale pour le calcul des surfaces de profils en travers.
Le saviez-vous ?
Les grands projets de terrassement modernes, comme les lignes à grande vitesse (LGV), sont optimisés par ordinateur pour équilibrer les volumes de déblai et de remblai, minimisant ainsi le transport de terres et l'impact environnemental.
FAQ
Questions fréquentes :
Résultat Final
A vous de jouer
Avec un terrain naturel à 30%, quelle serait la hauteur \(h_2\) ?
Question 3 : Calculer les surfaces \(S_1\) et \(S_2\) des profils en travers.
Principe
La surface d'un profil en travers en déblai est la section de terre à excaver. Pour une forme simple, elle se décompose en un rectangle (sous la plateforme) et deux triangles (les talus). L'aire totale est la somme de ces aires élémentaires.
Mini-Cours
La géométrie d'un talus est définie par sa pente, notée \(p\). Cette pente est le rapport de la distance horizontale sur la distance verticale (H/V). Par exemple, un talus à 2/3 signifie qu'on s'écarte de 2m horizontalement chaque fois qu'on descend de 3m verticalement. L'aire d'un talus de hauteur \(h\) est \( (p \times h) \times h / 2 = p \times h^2 / 2 \). Pour deux talus, on a \(p \times h^2\).
Remarque Pédagogique
La formule \(S = (l \times h) + (p \times h^2)\) est un raccourci très pratique. Retenez-la, elle vous fera gagner beaucoup de temps pour les profils trapézoïdaux symétriques, qui sont très fréquents en terrassement.
Normes
La pente des talus (\(p\)) n'est pas choisie au hasard. Elle dépend de la nature du sol et est définie par des normes géotechniques (comme l'Eurocode 7) pour garantir que le talus ne s'effondrera pas. Un sol rocheux peut avoir des talus quasi-verticaux, tandis qu'un sol sableux nécessitera des talus très doux.
Formule(s)
L'outil mathématique est la formule de l'aire du trapèze, simplifiée pour le terrassement :
Hypothèses
Nous supposons que le profil est symétrique et que la pente du talus est constante de bas en haut.
Donnée(s)
Nous utilisons les hauteurs calculées et les données de l'énoncé :
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Hauteurs de déblai | \(h_1\), \(h_2\) | 0 m, 6 m |
| Largeur plateforme | \(l\) | 4 m |
| Pente talus (H/V) | \(p\) | 2/3 |
Astuces
Quand vous calculez \(p \times h^2\), faites attention aux priorités opératoires : calculez d'abord le carré (\(h^2\)), puis multipliez par la pente \(p\). Une erreur d'inattention est vite arrivée.
Schéma (Avant les calculs)
Décomposition de la surface du profil S₂
Calcul(s)
Surface du profil \(S_1\)
Surface du profil \(S_2\)
Schéma (Après les calculs)
Profil en travers S₂ avec sa surface
Réflexions
Une surface de 48 m² pour un profil en travers est une excavation très importante. Pour visualiser, c'est l'équivalent de la surface d'un grand salon. Cela confirme que le terrassement à la fin de la rampe sera majeur.
Points de vigilance
Ne pas oublier le terme carré (\(h^2\)) dans la partie de la formule concernant les talus. L'aire des triangles dépend du carré de la hauteur, ce qui signifie qu'elle augmente très rapidement quand le déblai devient profond.
Points à retenir
La surface d'un profil en déblai dépend de la largeur de la plateforme, de la hauteur de déblai, et de la pente des talus. Maîtriser sa formule de calcul est essentiel.
Le saviez-vous ?
Avant les ordinateurs, le calcul des surfaces de profils se faisait manuellement sur papier millimétré avec un appareil appelé "planimètre", qui permettait de mesurer une aire en suivant son contour avec une pointe.
FAQ
Questions fréquentes :
Résultat Final
A vous de jouer
Si la hauteur \(h_2\) était de 3 m, quelle serait la surface \(S_2\) ?
Question 4 : Estimer le volume de déblai \(V_d\) en place.
Principe
Pour trouver le volume d'un solide complexe comme une rampe, on utilise une méthode d'intégration approchée. La plus simple est la méthode de la moyenne des aires : on considère que le volume est un prisme dont la base est la moyenne des sections extrêmes.
Mini-Cours
La méthode de la moyenne des aires est la plus simple pour les cubatures. D'autres méthodes plus précises existent, comme la formule de Simpson, qui prend en compte un profil intermédiaire au milieu du tronçon. Pour des projets complexes, les logiciels de DAO calculent les volumes en modélisant un solide 3D (MNT) et en le comparant au solide du projet.
Remarque Pédagogique
Cette méthode est très intuitive. Imaginez que vous "lissez" la forme de la rampe pour en faire un bloc uniforme. La section de ce bloc serait logiquement la moyenne entre la section de départ (nulle) et celle d'arrivée.
Normes
Les méthodes de calcul des volumes (cubatures) sont standardisées dans les cahiers des charges des marchés publics (CCTG Fascicule 2 en France) pour que les entreprises et le maître d'ouvrage s'accordent sur les quantités de travaux à payer.
Formule(s)
L'outil mathématique est la formule de la moyenne des aires :
Hypothèses
Cette formule suppose que la variation de la section transversale est linéaire entre les deux profils. C'est une approximation raisonnable pour des profils pas trop éloignés.
Donnée(s)
On utilise les résultats des questions précédentes :
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Surface 1 | \(S_1\) | 0 m² |
| Surface 2 | \(S_2\) | 48 m² |
| Longueur | \(L\) | 50 m |
Astuces
Le calcul est \( (48/2) \times 50 \), ce qui est égal à \( 48 \times (50/2) = 48 \times 25 \). Pour multiplier par 25, on peut multiplier par 100 (4800) et diviser par 4, ce qui donne 1200.
Schéma (Avant les calculs)
Modèle du prisme pour le calcul de volume
Calcul(s)
Application de la formule
Schéma (Après les calculs)
Modèle du prisme avec volume calculé
Réflexions
1200 m³ de terre "en place", c'est le volume que représente le déblai dans le sol avant qu'on y touche. C'est la quantité de matière à extraire. Ce volume est la base de facturation des travaux de terrassement.
Points de vigilance
Assurez-vous que les unités sont cohérentes. Si les surfaces sont en m² et la longueur en m, le volume sera bien en m³. Ne mélangez pas des centimètres et des mètres !
Points à retenir
La méthode de la moyenne des aires est une technique de base pour estimer les volumes de terrassement sur des projets linéaires. Sa simplicité en fait un outil très utilisé pour les pré-dimensionnements.
Le saviez-vous ?
Le plus grand projet de terrassement de l'histoire est le canal de Panama, qui a nécessité l'excavation de plus de 200 millions de mètres cubes de terre et de roche pour relier les océans Atlantique et Pacifique.
FAQ
Questions fréquentes :
Résultat Final
A vous de jouer
Avec \(S_1=10\) m² et \(S_2=50\) m² sur 40m, quel serait le volume ?
Question 5 : Calculer le volume total de terres \(V_e\) à évacuer.
Principe
Le volume à évacuer n'est pas le volume en place, mais le volume "foisonné". Le foisonnement est le phénomène par lequel un sol augmente de volume lorsqu'il est extrait et remanié, car les vides entre les grains augmentent. Il faut donc appliquer un coefficient multiplicateur au volume en place.
Mini-Cours
Le coefficient de foisonnement (\(C_f\)) est supérieur à 1. Il dépend de la nature du sol. Un sol rocheux foisonne beaucoup (Cf jusqu'à 1.6) car il se fragmente en blocs avec de grands vides. Une argile compacte foisonne moins (Cf environ 1.25). Ce coefficient est une donnée géotechnique essentielle.
Remarque Pédagogique
C'est une étape cruciale pour la logistique du chantier. Oublier le foisonnement, c'est sous-estimer de 20% à 30% le nombre de camions nécessaires pour évacuer les terres, ce qui peut avoir un impact financier et calendaire désastreux !
Normes
Les coefficients de foisonnement à utiliser sont spécifiés dans les études géotechniques (norme NF P94-500) qui sont obligatoires pour tout projet de construction. Ils sont déterminés par des essais en laboratoire sur des échantillons de sol.
Formule(s)
L'outil mathématique est une simple multiplication :
Hypothèses
Nous supposons que le coefficient de foisonnement de 1.20 est constant et représentatif pour l'ensemble des 1200 m³ de sols à excaver.
Donnée(s)
On utilise le résultat de la Q4 et le coefficient de l'énoncé :
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Volume en place | \(V_d\) | 1200 m³ |
| Coefficient de foisonnement | \(C_f\) | 1.20 |
Astuces
Pour calculer \(1200 \times 1.2\), on peut faire \(1200 \times 1\) (ce qui fait 1200) et y ajouter \(1200 \times 0.2\) (ce qui fait 240, car 0.2 c'est 1/5). Le total est \(1200 + 240 = 1440\).
Schéma (Avant les calculs)
Illustration du phénomène de foisonnement
Calcul(s)
Application du coefficient
Schéma (Après les calculs)
Illustration du phénomène de foisonnement avec résultat
Réflexions
Cette augmentation de 240 m³ (soit 20%) est très significative. Si un camion peut transporter 10 m³, cela représente 24 rotations de camions supplémentaires qui n'auraient pas été prévues si on avait oublié le foisonnement.
Points de vigilance
Ne jamais utiliser le coefficient de foisonnement à l'envers (diviser au lieu de multiplier). Le volume foisonné est toujours *supérieur* au volume en place.
Points à retenir
Le volume de déblai calculé sur plan (volume en place) doit toujours être majoré par le coefficient de foisonnement pour obtenir le volume réel à transporter et à mettre en dépôt.
Le saviez-vous ?
Inversement, quand on met des terres en remblai, on les compacte. Le volume final est alors inférieur au volume foisonné transporté. On parle alors de "coefficient de tassement". La gestion des volumes en terrassement est un cycle : déblai -> foisonnement -> transport -> remblai -> tassement.
FAQ
Questions fréquentes :
Résultat Final
A vous de jouer
Si le coefficient de foisonnement était de 1.35, quel serait le volume à évacuer ?
Outil Interactif : Simulateur de Rampe
Utilisez les curseurs pour faire varier la longueur de la rampe et la pente du terrain naturel, et observez en temps réel l'impact sur les volumes de déblai.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Le "foisonnement" d'un sol désigne :
2. La section d'un profil en travers de déblai a typiquement une forme de :
3. Si la pente de la rampe était égale à celle du terrain naturel, le volume de déblai serait :
4. Une pente de talus de 2/3 (H/V) signifie :
5. Pourquoi est-il crucial de calculer le volume de déblai foisonné ?
Glossaire du Terrassement
- Déblai
- Action d'enlever des terres pour abaisser le niveau d'un terrain. Le volume de terre enlevé est aussi appelé "déblai".
- Profil en travers
- Coupe verticale du terrain, perpendiculaire à l'axe d'un projet (route, rampe, etc.). Il permet de visualiser le relief et les surfaces à terrasser.
- Foisonnement
- Augmentation de volume que subissent les terres lorsqu'elles sont extraites de leur état compact en place. Ce phénomène est dû à la création de vides entre les agrégats.
- Talus
- Surface de terrain inclinée qui limite un déblai ou un remblai. Sa pente est choisie pour assurer sa stabilité.
- Plateforme
- Surface horizontale ou en faible pente, constituant la base d'une construction ou d'une voie de circulation.
D’autres exercices de mouvements de terres:
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