Calcul du Volume de Remblai pour une Plateforme

Exercice : Calcul du Volume de Remblai d'une Plateforme

Calcul du Volume de Remblai pour une Plateforme

Contexte : Les Mouvements de TerresEnsemble des opérations de modification du relief d'un terrain, incluant le déblai (enlèvement de terres) et le remblai (ajout de terres)..

Dans le domaine du BTP et du génie civil, la préparation d'un terrain est une étape cruciale avant toute construction. Cet exercice simule un cas pratique courant : la création d'une plateforme horizontale destinée à accueillir un bâtiment sur un terrain en pente. Pour ce faire, il est nécessaire d'apporter de la terre, une opération appelée remblaiMatériaux (terre, sable, etc.) rapportés pour combler un creux ou surélever un terrain afin d'atteindre un niveau défini.. L'objectif est de calculer avec précision le volume de matériaux à commander et à mettre en œuvre.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer des formules de géométrie de base à un problème concret de terrassement, une compétence essentielle pour tout technicien ou ingénieur en BTP pour l'estimation des coûts et la planification de chantier.


Objectifs Pédagogiques

  • Modéliser géométriquement un problème de terrassement simple.
  • Calculer les altitudes de points sur un terrain en pente.
  • Déterminer le volume d'un prisme à base rectangulaire par la méthode de la hauteur moyenne.
  • Comprendre l'importance du calcul précis des volumes pour la gestion d'un projet.

Données du Projet de Plateforme

Nous souhaitons aménager une plateforme rectangulaire parfaitement horizontale pour la construction d'un entrepôt. Le terrain naturel présente une pente régulière et constante dans le sens de sa longueur.

Caractéristiques du Projet
Schéma du Projet de Terrassement
hA=0.00m hB=4.00m A B C D Plateforme finie (Z=100.00) Longueur L = 40 m Largeur l = 20 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Longueur de la plateforme L 40 m
Largeur de la plateforme l 20 m
Altitude de la plateforme finie \(Z_{\text{plateforme}}\) 100.00 m
Altitude du point haut du terrain (coin A) \(Z_A\) 100.00 m
Pente du terrain naturel (selon L) p 10 %

Questions à traiter

  1. Calculer les altitudes des quatre coins du terrain naturel (A, B, C, D) situés sous l'emprise de la future plateforme.
  2. Déterminer les hauteurs de remblai nécessaires à chaque coin (\(h_A, h_B, h_C, h_D\)).
  3. Calculer l'aire (la surface) de la base de la plateforme.
  4. En déduire la hauteur moyenne de remblai sur l'ensemble de la plateforme.
  5. Calculer le volume total de remblai à prévoir pour réaliser la plateforme.

Les bases du calcul de cubatures

Le calcul des volumes de terre, aussi appelé "cubature", est fondamental en terrassement. Pour des formes complexes, on décompose le volume en solides géométriques simples. Pour une plateforme sur un terrain en pente régulière, le volume de remblai forme un prisme dont la hauteur n'est pas constante. On utilise alors la méthode de la hauteur moyenne.

1. Formule du Volume par Hauteur Moyenne
Pour un prisme droit dont la surface de base (S) est connue et dont la hauteur varie, le volume (V) peut être estimé de façon très précise en multipliant la surface de base par la hauteur moyenne (\(h_{\text{moyenne}}\)). \[ V = S_{\text{base}} \times h_{\text{moyenne}} \]

2. Calcul de la Hauteur Moyenne
Pour une surface rectangulaire définie par 4 coins (A, B, C, D) avec des hauteurs respectives (\(h_A, h_B, h_C, h_D\)), la hauteur moyenne est simplement la moyenne arithmétique des hauteurs aux quatre coins. \[ h_{\text{moyenne}} = \frac{h_A + h_B + h_C + h_D}{4} \]


Correction : Calcul du Volume de Remblai pour une Plateforme

Question 1 : Calculer les altitudes des quatre coins du terrain.

Principe

Le terrain a une pente constante. La pente exprime la variation d'altitude (dénivelé) pour une certaine distance horizontale. En connaissant l'altitude d'un point, la pente et la distance, on peut déduire l'altitude des autres points.

Mini-Cours

Une pente en pourcentage (%) est le rapport entre le dénivelé vertical et la distance horizontale, multiplié par 100. Une pente de 10% signifie que pour 100 mètres parcourus à l'horizontale, on monte (ou on descend) de 10 mètres à la verticale.

Remarque Pédagogique

Visualisez toujours le problème. Identifiez le point le plus haut et le sens de la pente. Ici, le point A est le plus haut, et la pente descend vers B. La ligne A-D est une ligne de niveau (altitude constante), tout comme la ligne B-C.

Normes

Ce calcul relève des conventions topographiques de base et non d'une norme de construction spécifique comme les Eurocodes. La précision des relevés et des calculs est cependant encadrée par les bonnes pratiques de l'art du géomètre.

Formule(s)

La différence d'altitude (ou dénivelé), notée \( \Delta Z \), se calcule par :

\[ \Delta Z = \text{Pente (en décimal)} \times \text{Distance horizontale} \]
Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :

  • La pente du terrain est parfaitement constante et linéaire sur toute la surface de la plateforme.
  • La pente est nulle dans le sens de la largeur.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Altitude du point A\(Z_A\)100.00m
Longueur (distance A-B)L40m
Pentep10%
Astuces

Pour calculer rapidement de tête, rappelez-vous que 10% d'un nombre, c'est simplement ce nombre divisé par 10. Ainsi, 10% de 40m donne immédiatement 4m.

Schéma (Avant les calculs)
Profil en long du terrain naturel
Distance (m) Altitude (m) 100.00 96.00 0 40 Point A Point B Distance Horizontale = 40m ΔZ = ? Pente = 10%
Calcul(s)

Calcul du dénivelé \( \Delta Z \)

\[ \begin{aligned} \Delta Z &= 10\% \times 40 \text{ m} \\ &= 0.10 \times 40 \text{ m} \\ &= 4.00 \text{ m} \end{aligned} \]

Altitude du point D

\[ Z_D = Z_A = 100.00 \text{ m} \]

Altitude du point B

\[ \begin{aligned} Z_B &= Z_A - \Delta Z \\ &= 100.00 \text{ m} - 4.00 \text{ m} \\ &= 96.00 \text{ m} \end{aligned} \]

Altitude du point C

\[ Z_C = Z_B = 96.00 \text{ m} \]
Schéma (Après les calculs)
Plan des altitudes du Terrain Naturel (TN)
Z=98 A (Z=100.00) C (Z=96.00) D (Z=100.00) B (Z=96.00) Sens de la Pente
Réflexions

Les résultats sont cohérents. Les points D et A sont à la même altitude (100.00 m), et les points C et B sont 4 mètres plus bas (96.00 m), ce qui correspond bien à une pente de 10% sur une distance de 40 mètres.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de mal convertir le pourcentage. Rappelez-vous toujours de diviser la valeur du pourcentage par 100 pour l'utiliser dans une formule (10% devient 0.10).

Points à retenir

Pour maîtriser cette question, retenez la relation fondamentale : Dénivelé = Pente × Distance. C'est la base de tous les calculs topographiques simples.

Le saviez-vous ?

Les géomètres-topographes modernes utilisent des stations totales robotisées et des GPS de haute précision (RTK) pour mesurer des milliers de points sur un terrain et en créer un modèle numérique 3D, permettant un calcul de cubatures extrêmement précis.

FAQ
Résultat Final
Les altitudes du terrain naturel aux coins sont : \(Z_A = 100.00 \text{ m}, Z_B = 96.00 \text{ m}, Z_C = 96.00 \text{ m}, Z_D = 100.00 \text{ m}\).
A vous de jouer

Quelle serait l'altitude du point B si la pente était de 5% ?

Question 2 : Déterminer les hauteurs de remblai nécessaires à chaque coin.

Principe

La hauteur de remblai à un point est la différence verticale entre le niveau du projet fini (la plateforme) et le niveau du terrain naturel. C'est l'épaisseur de terre qu'il faut ajouter pour atteindre l'altitude souhaitée.

Mini-Cours

En terrassement, on distingue le remblai (on ajoute de la matière, \(Z_{\text{projet}} > Z_{\text{terrain}}\)) du déblai (on enlève de la matière, \(Z_{\text{projet}} < Z_{\text{terrain}}\)). Le "point de passage" est la ligne où \(Z_{\text{projet}} = Z_{\text{terrain}}\), où il n'y a ni déblai ni remblai.

Remarque Pédagogique

La clé est de ne pas se tromper de sens. On part du terrain existant pour aller vers le projet. La hauteur de remblai est donc toujours calculée comme "Altitude Cible" moins "Altitude de Départ".

Normes

Pas de norme spécifique pour ce calcul, mais les plans de projet (comme les profils en long et en travers) doivent suivre des conventions de dessin technique pour représenter clairement les hauteurs de déblai/remblai.

Formule(s)

Pour chaque coin \( i \), la hauteur de remblai \( h_i \) est :

\[ h_i = Z_{\text{plateforme}} - Z_{\text{terrain}, i} \]
Hypothèses

L'altitude de la plateforme est supposée parfaitement constante sur toute sa surface (Z = 100.00 m).

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Altitude de la plateforme\(Z_{\text{plateforme}}\)100.00m
Altitude du terrain au point A\(Z_A\)100.00m
Altitude du terrain au point B\(Z_B\)96.00m
Altitude du terrain au point C\(Z_C\)96.00m
Altitude du terrain au point D\(Z_D\)100.00m
Astuces

Un résultat positif pour \( h_i \) confirme un remblai. Si vous obteniez un résultat négatif, cela indiquerait une zone de déblai, ce qui serait un bon moyen de vérifier la logique de votre calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Coupe verticale au niveau du point B
Z_plateforme = 100.00Z_terrain (B) = 96.00h_B = ?
Calcul(s)

Hauteur de remblai au point A (\(h_A\))

\[ \begin{aligned} h_A &= Z_{\text{plateforme}} - Z_A \\ &= 100.00 \text{ m} - 100.00 \text{ m} \\ &= 0.00 \text{ m} \end{aligned} \]

Hauteur de remblai au point B (\(h_B\))

\[ \begin{aligned} h_B &= Z_{\text{plateforme}} - Z_B \\ &= 100.00 \text{ m} - 96.00 \text{ m} \\ &= 4.00 \text{ m} \end{aligned} \]

Hauteur de remblai au point C (\(h_C\))

\[ \begin{aligned} h_C &= Z_{\text{plateforme}} - Z_C \\ &= 100.00 \text{ m} - 96.00 \text{ m} \\ &= 4.00 \text{ m} \end{aligned} \]

Hauteur de remblai au point D (\(h_D\))

\[ \begin{aligned} h_D &= Z_{\text{plateforme}} - Z_D \\ &= 100.00 \text{ m} - 100.00 \text{ m} \\ &= 0.00 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Plan des hauteurs de remblai (h)
Dh=0.00Ah=0.00Ch=4.00Bh=4.00
Réflexions

Le résultat est logique : comme la plateforme est calée sur le point le plus haut du terrain (A), il n'y a pas de remblai à prévoir aux coins A et D. Tout le remblai se situe dans la partie basse du terrain.

Points de vigilance

Attention à ne pas inverser la soustraction (Terrain - Projet). Cela donnerait des hauteurs négatives, ce qui n'a pas de sens physique pour un remblai. Un remblai a toujours une épaisseur positive ou nulle.

Points à retenir

La hauteur de remblai est la "marche" à construire pour passer du terrain naturel au niveau du projet. C'est une notion verticale simple mais fondamentale.

Le saviez-vous ?

Avant tout remblai, il est obligatoire de "décaper" la terre végétale (la première couche de terre riche en matière organique) car elle est instable et impropre à la construction. Cette terre est souvent stockée puis réutilisée pour les espaces verts du projet.

FAQ
Résultat Final
Les hauteurs de remblai sont : \(h_A = 0.00 \text{ m}, h_B = 4.00 \text{ m}, h_C = 4.00 \text{ m}, h_D = 0.00 \text{ m}\).
A vous de jouer

Quelle serait la hauteur de remblai au point B (\(h_B\)) si l'altitude de la plateforme était fixée à 101.50 m ?

Question 3 : Calculer l'aire de la base de la plateforme.

Principe

L'aire (ou surface) est la mesure de l'étendue d'une surface plane. Pour un rectangle, c'est l'espace contenu à l'intérieur de ses quatre côtés. Cette surface servira de "base" pour le calcul du volume.

Mini-Cours

La formule de l'aire d'un rectangle (Longueur × largeur) est un cas particulier de la formule plus générale de l'aire d'un parallélogramme (Base × hauteur). Comme les angles d'un rectangle sont droits, la largeur est égale à la hauteur du parallélogramme.

Remarque Pédagogique

Dans les projets de BTP, les surfaces sont rarement des rectangles parfaits. Il faut souvent les décomposer en formes simples (rectangles, triangles) dont on sait calculer l'aire, avant d'additionner les résultats.

Normes

Aucune norme spécifique, il s'agit d'une formule mathématique universelle. Les unités de surface du Système International sont les mètres carrés (m²).

Formule(s)

L'aire S d'un rectangle est :

\[ S = L \times l \]
Hypothèses

Nous supposons que la plateforme est un rectangle parfait avec des angles à 90°.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
LongueurL40m
Largeurl20m
Astuces

Pour des calculs rapides, vous pouvez multiplier les chiffres significatifs (4 x 2 = 8) puis ajouter le nombre total de zéros (deux zéros), ce qui donne 800.

Schéma (Avant les calculs)
Vue en plan de la plateforme
Longueur L = 40 mLargeur l = 20 mS = ?
Calcul(s)

Calcul de la surface S

\[ \begin{aligned} S &= L \times l \\ &= 40 \text{ m} \times 20 \text{ m} \\ &= 800 \text{ m}^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Surface de la plateforme
S = 800 m²
Réflexions

Une surface de 800 m² correspond à la superficie d'un petit entrepôt ou d'environ 12 appartements de 65 m². Cela donne un ordre de grandeur concret à la surface que nous calculons.

Points de vigilance

Soyez toujours attentif aux unités. Si une longueur était donnée en centimètres, il faudrait la convertir en mètres avant de calculer l'aire en m² pour éviter des erreurs d'un facteur 100.

Points à retenir

L'aire de la base est la première des deux composantes du calcul de volume (Volume = Aire × Hauteur). Une erreur sur l'aire se répercute directement et proportionnellement sur le volume final.

Le saviez-vous ?

Le mot "superficie" est un synonyme d' "aire". En France, une unité de surface agraire encore parfois utilisée est l' "are", qui vaut 100 m². Notre plateforme fait donc 8 ares.

FAQ
Résultat Final
La surface de la base de la plateforme est de 800 m².
A vous de jouer

Quelle serait la surface si la plateforme mesurait 50 m de long par 25 m de large ?

Question 4 : En déduire la hauteur moyenne de remblai.

Principe

Puisque la hauteur de remblai n'est pas la même partout (elle varie de 0m à 4m), nous calculons une hauteur "moyenne" qui, si elle était appliquée sur toute la surface, donnerait le même volume total. C'est une simplification qui permet un calcul facile.

Mini-Cours

La moyenne arithmétique est le concept statistique le plus simple. Elle consiste à sommer un ensemble de valeurs et à diviser par le nombre de valeurs. Elle donne une valeur centrale, ou "tendance centrale", de l'ensemble. C'est ce que nous faisons avec les hauteurs aux 4 coins.

Remarque Pédagogique

Cette méthode fonctionne très bien car la variation de hauteur est linéaire (due à la pente constante). Si le terrain était bosselé, il faudrait prendre beaucoup plus de points et faire la moyenne de tous ces points pour avoir un résultat fiable.

Normes

Il ne s'agit pas d'une norme mais d'une méthode de calcul conventionnelle en métré et en cubatures, connue comme la "méthode des points cotés" ou "méthode des moyennes".

Formule(s)

La hauteur moyenne \( h_{\text{moyenne}} \) pour une base à 4 coins se calcule ainsi :

\[ h_{\text{moyenne}} = \frac{h_A + h_B + h_C + h_D}{4} \]
Hypothèses

Nous supposons que la surface de remblai entre les 4 coins est un paraboloïde hyperbolique, ce qui valide l'utilisation de la moyenne arithmétique simple des coins pour obtenir le volume exact.

Donnée(s)
PointHauteur de remblai (h)Unité
A0.00m
B4.00m
C4.00m
D0.00m
Astuces

Dans notre cas symétrique, la moyenne est évidente : c'est la moyenne entre 0 et 4, soit 2. On peut le voir en regroupant (0+4) et (0+4), ce qui fait deux fois 4. Le total est 8. Divisé par 4 points, on obtient 2.

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation des hauteurs de remblai
Ah=0Dh=0Bh=4Ch=4h_moy = ?
Calcul(s)

Calcul de la hauteur moyenne

\[ \begin{aligned} h_{\text{moyenne}} &= \frac{h_A + h_B + h_C + h_D}{4} \\ &= \frac{0.00 \text{ m} + 4.00 \text{ m} + 4.00 \text{ m} + 0.00 \text{ m}}{4} \\ &= \frac{8.00 \text{ m}}{4} \\ &= 2.00 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Principe de la hauteur moyenne
Plateforme Z=100.00Terrain Naturelh_moyenne = 2.00 m
Réflexions

La hauteur moyenne de 2m est exactement la moitié de la hauteur maximale de 4m. C'est logique car le volume de remblai a la forme d'un prisme à base triangulaire (vu de côté), et la hauteur moyenne d'un triangle est à la moitié de sa base.

Points de vigilance

L'erreur classique est de se tromper dans le nombre de points par lequel diviser. S'il y a 4 points, on divise par 4, même si certains ont une hauteur de zéro. Chaque point compte.

Points à retenir

La hauteur moyenne transforme un volume complexe (un prisme à base rectangulaire et à "toit" incliné) en un volume simple (un pavé droit) de même cubature, ce qui rend le calcul final trivial.

Le saviez-vous ?

Pour les grands projets linéaires comme les routes ou les voies ferrées, les ingénieurs utilisent la "méthode des profils", où ils calculent l'aire de la section de remblai/déblai à intervalles réguliers, puis en déduisent le volume entre chaque section.

FAQ
Résultat Final
La hauteur moyenne de remblai est de 2.00 m.
A vous de jouer

Quelle serait la hauteur moyenne si les 4 hauteurs étaient \(h_A=1\text{m}, h_B=3\text{m}, h_C=4\text{m} \text{ et } h_D=2\text{m}\) ?

Question 5 : Calculer le volume total de remblai à prévoir.

Principe

Le volume total est le produit de l'étendue de la surface (l'aire) par son épaisseur moyenne (la hauteur moyenne de remblai). C'est l'application finale et la plus simple de la méthode des cubatures par hauteur moyenne.

Mini-Cours

Le volume d'un prisme droit (un solide avec deux bases parallèles et identiques et des faces latérales rectangulaires) est toujours calculé par la formule \( V = S_{\text{base}} \times h \). Notre calcul de hauteur moyenne nous a permis de ramener notre solide complexe à un prisme droit équivalent.

Remarque Pédagogique

Ce calcul final est la raison d'être de toutes les étapes précédentes. En BTP, ce chiffre est crucial : il détermine le nombre de camions de terre à commander, le coût des matériaux et la durée des opérations de terrassement.

Normes

Pas de norme de calcul, mais le résultat est une donnée d'entrée essentielle pour les métrés et devis quantitatifs estimatifs (DQE) qui sont des documents contractuels dans les marchés de travaux.

Formule(s)

La formule du volume \( V \) est :

\[ V = S_{\text{base}} \times h_{\text{moyenne}} \]
Hypothèses

Nous calculons ici le volume "en place", c'est-à-dire le volume une fois le remblai mis en œuvre et compacté. On ne prend pas en compte le foisonnement du matériau lors de son transport.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Surface de la baseS800
Hauteur moyenne\(h_{\text{moyenne}}\)2.00m
Astuces

Pensez à l'analogie simple d'une piscine : pour connaître son volume d'eau, vous multipliez la surface du fond par sa profondeur moyenne. C'est exactement le même principe ici.

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation du Volume de Remblai
S = 800 m²h_moy = 2 mV = ?
Calcul(s)

Calcul du volume V

\[ \begin{aligned} V &= S \times h_{\text{moyenne}} \\ &= 800 \text{ m}^2 \times 2.00 \text{ m} \\ &= 1600 \text{ m}^3 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Volume Final Calculé
V = 1600 m³
Réflexions

Ce volume de 1600 m³ représente la quantité de terre une fois compactée. Sur un chantier, il faut aussi commander en tenant compte du "foisonnement" : la terre remuée occupe plus de place. Avec un coefficient de foisonnement de 1.25 (25% de plus), il faudrait commander \(1600 \times 1.25 = 2000 \text{ m}^3\) de matériaux, soit une centaine de camions de 20m³.

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes vos unités sont cohérentes avant le calcul final. Ici, nous avons une surface en m² et une hauteur en m. Le résultat sera donc bien en m³, l'unité standard pour les volumes.

Points à retenir

La formule Volume = Surface × Hauteur moyenne est l'aboutissement logique et la clé de la plupart des calculs de cubatures simples. Maîtrisez-la et vous pourrez estimer rapidement de nombreux volumes sur un chantier.

Le saviez-vous ?

Le plus grand projet de terrassement de l'histoire est la construction du canal de Panama, qui a nécessité l'excavation de plus de 200 millions de mètres cubes de terre et de roche, soit l'équivalent de 125 000 fois notre plateforme !

FAQ
Résultat Final
Le volume total de remblai nécessaire pour la plateforme est de 1600 m³.
A vous de jouer

Quel serait le volume de remblai si la pente du terrain était de 15% ?


Outil Interactif : Simulateur de Volume

Utilisez les curseurs pour faire varier la longueur de la plateforme et la pente du terrain, et observez l'impact direct sur la hauteur moyenne de remblai et le volume total nécessaire.

Paramètres d'Entrée
40 m
10 %
Résultats Clés
Hauteur Moyenne (m) -
Volume de Remblai (m³) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Que signifie le terme "remblai" en terrassement ?

2. Si la pente du terrain était de 0%, quel serait le volume de remblai nécessaire dans cet exercice ?

3. Si on double la largeur (l) de la plateforme, qu'arrive-t-il au volume de remblai ?

4. Une pente de 15% correspond à un dénivelé de :

5. La méthode de la hauteur moyenne est plus précise quand :


Glossaire du Terrassement

Cubature
Ensemble des opérations de calcul des volumes de terres à déplacer (déblais et remblais).
Déblai
Action d'enlever des terres pour abaisser le niveau d'un terrain. Le volume de terre enlevé.
Pente
Inclinaison d'une surface par rapport à l'horizontale. Exprimée en pourcentage (%), elle représente le dénivelé vertical pour une distance horizontale de 100 unités.
Plateforme
Surface de terrain aménagée et rendue horizontale, destinée à supporter une construction ou un aménagement.
Remblai
Action d'ajouter des terres ou matériaux pour surélever un terrain ou combler un creux. Le volume de terre ajouté.
Talus
Surface de terrain en pente créée artificiellement pour raccorder deux zones d'altitudes différentes.
Exercice : Calcul du Volume de Remblai
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