Calcul du Cubage de Grave pour Remblai de Tranchée
Contexte : Le cubageLe cubage est le calcul du volume de matériaux (déblais ou remblais) dans les travaux de terrassement. des matériaux est une étape cruciale dans la planification et la gestion des coûts d'un chantier de VRDVoirie et Réseaux Divers. Englobe les travaux d'aménagement des voies d'accès, d'alimentation en eau, électricité, et l'assainissement..
Cet exercice vous guidera à travers le calcul du volume de grave nécessaire pour remblayer une tranchée destinée à accueillir une canalisation d'assainissement. Nous prendrons en compte la géométrie de la tranchée, le volume de la canalisation, ainsi que le coefficient de foisonnementRapport entre le volume d'un matériau foisonné (en vrac, non tassé) et son volume en place (compacté). Il est toujours supérieur à 1., un paramètre essentiel pour commander la bonne quantité de matériaux.
Remarque Pédagogique : Maîtriser ce calcul est fondamental pour tout technicien ou ingénieur en génie civil. Une erreur de cubage peut entraîner des surcoûts importants (trop de matériaux commandés) ou des retards de chantier (manque de matériaux).
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la section et le volume d'une fouille en tranchée de section trapézoïdale.
- Déterminer le volume net de remblai en déduisant le volume d'un ouvrage (canalisation).
- Appliquer un coefficient de foisonnement pour déterminer le volume de matériaux à commander.
Données de l'étude
Schéma de la Section de Tranchée
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \(L_{\text{tranchée}}\) | Longueur de la tranchée | 45.00 | m |
| \(B\) | Largeur en tête de tranchée | 1.20 | m |
| \(b\) | Largeur en fond de tranchée | 0.80 | m |
| \(H\) | Hauteur de la tranchée | 1.50 | m |
| \(D_{\text{ext}}\) | Diamètre extérieur de la canalisation | 0.40 | m |
| \(C_f\) | Coefficient de foisonnement de la grave | 1.25 | sans |
Questions à traiter
- Calculer la surface de la section transversale de la tranchée (\(S_{\text{tranchée}}\)).
- Calculer le volume brut de la tranchée (\(V_{\text{brut}}\)).
- Calculer le volume occupé par la canalisation sur toute la longueur (\(V_{\text{canalisation}}\)).
- En déduire le volume net de grave nécessaire pour le remblai (\(V_{\text{net}}\)).
- Calculer le volume total de grave à commander en tenant compte du foisonnement (\(V_{\text{à commander}}\)).
Les bases du calcul de volume en terrassement
Pour résoudre cet exercice, deux concepts géométriques et un concept technique propre aux travaux publics sont nécessaires.
1. Aire d'un trapèze
Une tranchée avec des parois inclinées (talus) a une section transversale en forme de trapèze. Son aire se calcule en faisant la moyenne des deux bases (la grande et la petite) multipliée par la hauteur.
\[ S_{\text{trapèze}} = \frac{(B + b)}{2} \times H \]
Où \(B\) est la grande base (largeur en tête), \(b\) la petite base (largeur en fond) et \(H\) la hauteur.
2. Le Foisonnement
Lorsqu'un matériau (terre, grave, sable) est extrait ou livré, il n'est pas compacté. Son volume est plus important que lorsqu'il sera mis en place et tassé dans la tranchée. Le coefficient de foisonnement (\(C_f\)), toujours supérieur à 1, permet de passer du volume compacté (volume net nécessaire) au volume foisonné (volume à commander).
\[ V_{\text{à commander}} = V_{\text{net}} \times C_f \]
Correction : Calcul du Cubage de Grave pour Remblai de Tranchée
Question 1 : Calculer la surface de la section transversale de la tranchée (\(S_{\text{tranchée}}\))
Principe
Le concept physique ici est de simplifier un objet 3D (la tranchée) en une forme 2D (sa section) pour en faciliter le calcul. On modélise la coupe verticale de la fouille par une figure géométrique simple, ici un trapèze, pour quantifier l'espace qu'elle occupe.
Mini-Cours
En géométrie euclidienne, un trapèze est un quadrilatère ayant au moins deux côtés parallèles, appelés bases. Sa surface est le produit de la demi-somme de ses bases par sa hauteur. Cette formule est fondamentale en métré et en cubage car de nombreuses formes de terrain ou de fouilles peuvent être approximées par des trapèzes.
Remarque Pédagogique
Abordez toujours un problème de volume en commençant par identifier la forme de sa section transversale. Si la section est constante sur la longueur, le calcul du volume devient une simple multiplication. C'est le cas le plus courant pour les ouvrages linéaires comme les routes ou les canalisations.
Normes
Bien qu'il s'agisse d'un calcul géométrique de base, les méthodes de métré pour les terrassements sont encadrées par des normes comme la NF P11-300 ("Exécution des terrassements") qui définissent les conventions de calcul et les tolérances d'exécution pour s'assurer de la conformité des ouvrages.
Formule(s)
Formule de l'aire d'un trapèze
Donnée(s)
Nous extrayons les chiffres d'entrée pertinents de l'énoncé de l'exercice.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Largeur en tête | \(B\) | 1.20 | m |
| Largeur en fond | \(b\) | 0.80 | m |
| Hauteur | \(H\) | 1.50 | m |
Astuces
Pour vérifier rapidement l'ordre de grandeur, encadrez le résultat. L'aire doit être supérieure à celle d'un rectangle de 0.80m x 1.50m (1.20 m²) et inférieure à celle d'un rectangle de 1.20m x 1.50m (1.80 m²). Notre résultat devra se situer entre ces deux valeurs.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisons la section à calculer, en isolant les dimensions nécessaires.
Section trapézoïdale à calculer
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
La surface calculée correspond à l'aire hachurée du trapèze.
Visualisation de la surface calculée
Réflexions
Le résultat de 1.50 m² est cohérent avec l'astuce de vérification (entre 1.20 et 1.80 m²). Cette valeur servira de base pour tous les calculs de volume qui suivent.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'oublier de diviser la somme des bases par 2. Assurez-vous aussi que toutes vos dimensions sont dans la même unité (ici, le mètre) avant de commencer le calcul.
Points à retenir
Pour calculer le volume d'un ouvrage linéaire (tranchée, remblai routier), la première étape est toujours de calculer l'aire de sa section-type. La formule de l'aire du trapèze est un outil indispensable.
Le saviez-vous ?
Les premiers grands travaux de terrassement nécessitant des calculs de cubage précis remontent à l'Empire Romain pour la construction de leurs fameuses voies et aqueducs. Les ingénieurs romains utilisaient des instruments comme la groma et le chorobate pour garantir des pentes et des alignements parfaits.
FAQ
Vous pourriez vous poser les questions suivantes :
Résultat Final
A vous de jouer
Si la largeur en tête (B) était de 1.40 m, avec les mêmes autres dimensions, quelle serait la nouvelle surface de la section ?
Question 2 : Calculer le volume brut de la tranchée (\(V_{\text{brut}}\))
Principe
Le concept physique est l'extrusion d'une surface 2D le long d'une troisième dimension (la longueur) pour former un volume 3D. C'est le principe du prisme droit : un solide dont les deux bases sont des polygones égaux et parallèles, et les autres faces sont des rectangles.
Mini-Cours
Le volume d'un prisme droit, quelle que soit la forme de sa base (triangulaire, carrée, trapézoïdale...), est toujours égal au produit de l'aire de sa base par sa hauteur (ou sa longueur dans notre cas). C'est l'un des principes de base du calcul de volume en géométrie dans l'espace.
Remarque Pédagogique
Une fois la section calculée, le passage au volume est direct. Visualisez la section comme une "tranche" que vous déplacez sur toute la longueur de l'ouvrage pour "remplir" l'espace et ainsi matérialiser le volume.
Normes
Les cahiers des clauses techniques générales (CCTG), comme le Fascicule 2 pour les terrassements généraux, précisent que les volumes sont calculés sur la base des profils en travers (les sections) mesurés à intervalles réguliers. Pour un profil constant comme ici, la méthode est une simple multiplication.
Formule(s)
Formule du volume d'un prisme
Hypothèses
On reprend l'hypothèse de la question 1 : la section est constante sur toute la longueur de la tranchée.
Donnée(s)
On utilise le résultat de la question précédente et la longueur de la tranchée.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Surface de section | \(S_{\text{tranchée}}\) | 1.50 | m² |
| Longueur tranchée | \(L_{\text{tranchée}}\) | 45.00 | m |
Astuces
Pour un calcul mental rapide : 1.5 x 45 c'est (1 x 45) + (0.5 x 45) = 45 + 22.5 = 67.5. Cette méthode de décomposition est très efficace pour les calculs de tête sur le terrain.
Schéma (Avant les calculs)
On visualise l'extrusion de la section sur la longueur pour former le volume de la tranchée.
Volume de la tranchée par extrusion de la section
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Le volume calculé est représenté par le solide entier de la tranchée.
Visualisation du volume brut de la tranchée
Réflexions
Ce volume de 67.50 m³ représente la quantité totale de terre à extraire. C'est le "volume en fouille". Il servira de base pour calculer à la fois le volume de remblai nécessaire et le volume de déblais à évacuer (qui sera lui aussi affecté par un coefficient de foisonnement).
Points de vigilance
Faites attention aux unités ! Si la surface est en m² et la longueur en km, il faut convertir. Ici, tout est en mètres, donc le résultat est directement en m³.
Points à retenir
Le volume d'un ouvrage linéaire à section constante est toujours \(V = S \times L\). Retenez cette formule, elle est universelle en métré.
Le saviez-vous ?
Pour les projets très longs et complexes comme les lignes TGV ou les autoroutes, les calculs de volume sont faits par des logiciels qui intègrent des milliers de profils en travers et calculent le volume entre chaque profil. La formule de base reste cependant la même, appliquée sur de petits tronçons.
FAQ
Vous pourriez vous poser les questions suivantes :
Résultat Final
A vous de jouer
Si la longueur de la tranchée était de 100 mètres, quel serait le volume brut ?
Question 3 : Calculer le volume occupé par la canalisation (\(V_{\text{canalisation}}\))
Principe
Le concept est identique à la question précédente : on calcule la surface de la section 2D de l'objet (un disque pour la canalisation) et on l'extrude sur sa longueur pour obtenir le volume 3D (un cylindre).
Mini-Cours
Un cylindre de révolution est un solide généré par la rotation d'un rectangle autour d'un de ses côtés. Son volume est le produit de l'aire de sa base (un disque) par sa hauteur. L'aire d'un disque de rayon R (ou de diamètre D) est donnée par \(S = \pi \times R^2 = \pi \times D^2 / 4\).
Remarque Pédagogique
Dans un calcul de remblai, il faut toujours penser aux "vides". Tout objet qui occupe un volume au sein du remblai (canalisation, regard, massif en béton...) doit être déduit du volume total pour ne pas commander trop de matériaux.
Normes
Les normes de pose de canalisations (par exemple le Fascicule 70 ou la norme NF EN 1610) ne dictent pas le calcul de volume, mais elles imposent les dimensions de la tranchée et le positionnement de la canalisation, qui sont des données d'entrée indispensables pour ce calcul.
Formule(s)
Formule du volume d'un cylindre
Hypothèses
Nous supposons que la canalisation est un cylindre parfait et qu'elle est posée sur toute la longueur de la tranchée.
Donnée(s)
On utilise les données de l'énoncé concernant la canalisation.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Diamètre extérieur | \(D_{\text{ext}}\) | 0.40 | m |
| Longueur tranchée | \(L_{\text{tranchée}}\) | 45.00 | m |
Astuces
Une approximation rapide de \(\pi\) est 3.14. Pour une estimation mentale : \(0.4^2 = 0.16\). \(0.16 / 4 = 0.04\). \(0.04 \times 3.14 \approx 0.125\). Puis \(0.125 \times 45\) (c'est comme diviser 45 par 8) donne environ 5.6. Cela confirme que notre calcul est dans le bon ordre de grandeur.
Schéma (Avant les calculs)
On modélise la canalisation comme un cylindre avec ses dimensions.
Modélisation de la canalisation
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la surface de la section du tuyau
Étape 2 : Calcul du volume de la canalisation
Schéma (Après les calculs)
Le volume calculé correspond au solide cylindrique de la canalisation.
Visualisation du volume de la canalisation
Réflexions
Ce volume de 5.65 m³ peut paraître petit par rapport au volume total de la tranchée, mais ne pas le déduire conduirait à commander près de 6 m³ de matériaux en trop, ce qui représente un surcoût non négligeable.
Points de vigilance
Attention à ne pas confondre le rayon et le diamètre dans la formule de l'aire du disque. Si vous utilisez le rayon (R=0.20m), la formule est \(\pi R^2\). Si vous utilisez le diamètre (D=0.40m), la formule est \(\pi D^2 / 4\). Utiliser \(\pi D^2\) est une erreur classique qui multiplie le résultat par 4 !
Points à retenir
Le volume d'un cylindre est (Aire du disque de base) x (Longueur). En métré VRD, le volume d'un ouvrage à déduire est souvent celui d'un cylindre (tuyau) ou d'un parallélépipède (regard).
Le saviez-vous ?
Le nombre \(\pi\) fascine les mathématiciens depuis l'antiquité. Les Babyloniens l'estimaient à 3.125. Aujourd'hui, grâce aux supercalculateurs, on connaît plusieurs milliers de milliards de ses décimales, même si pour les calculs de BTP, 3.14159 est une précision bien plus que suffisante !
FAQ
Vous pourriez vous poser les questions suivantes :
Résultat Final
A vous de jouer
Si la canalisation avait un diamètre extérieur de 0.60 m, quel serait son volume ?
Question 4 : Calculer le volume net de grave nécessaire (\(V_{\text{net}}\))
Principe
Le concept est celui de la soustraction de volumes. On part d'un volume total (l'espace creusé) et on en retire un volume "plein" (l'objet posé dedans) pour obtenir le volume "vide" restant à combler.
Mini-Cours
En théorie des ensembles, c'est l'opération de différence. Si A est l'ensemble des points du volume de la tranchée et B l'ensemble des points du volume de la canalisation, le volume net correspond au volume de l'ensemble A \ B (A moins B). Le calcul de volume net est l'application directe de ce principe.
Remarque Pédagogique
Distinguez toujours le "volume brut" (volume total de la fouille) du "volume net" (volume de matériau réellement nécessaire). C'est le volume net qui sert de base au calcul des quantités à commander, après application du foisonnement.
Formule(s)
Formule du volume net
Donnée(s)
On utilise les résultats calculés dans les questions précédentes.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Volume brut | \(V_{\text{brut}}\) | 67.50 | m³ |
| Volume canalisation | \(V_{\text{canalisation}}\) | 5.65 | m³ |
Schéma (Avant les calculs)
On visualise le volume de la tranchée et le volume de la canalisation qui sera soustrait.
Soustraction des volumes
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Le volume net est le volume de la tranchée, moins l'empreinte du cylindre.
Visualisation du volume net
Réflexions
Ce volume de 61.85 m³ représente la quantité exacte de grave qui, une fois parfaitement compactée, remplira la tranchée autour de la canalisation. C'est le volume "en place".
Points de vigilance
Assurez-vous que les deux volumes que vous soustrayez sont bien dans la même unité. Une erreur d'inattention pourrait vous faire soustraire des m³ et des litres, par exemple.
Points à retenir
Volume net à remblayer = Volume total de l'excavation - Somme des volumes des ouvrages contenus dans l'excavation.
Le saviez-vous ?
Dans les projets de remblais maritimes ou de polders, les calculs de volume net sont extrêmement complexes. Ils doivent tenir compte des marées, des courants, de la compressibilité des fonds marins et des pertes de matériaux emportés par l'eau. Les volumes se chiffrent alors en millions de mètres cubes !
Résultat Final
A vous de jouer
Si le volume brut était de 100 m³ et le volume de la canalisation de 10 m³, quel serait le volume net ?
Question 5 : Calculer le volume total de grave à commander (\(V_{\text{à commander}}\))
Principe
Le concept physique est celui de la densité apparente. Un matériau non compacté (foisonné) a une masse volumique plus faible qu'un matériau compacté, car il contient plus de vides. Pour une même masse de matériau, le volume est donc plus grand à l'état foisonné. Le coefficient de foisonnement traduit ce changement de volume.
Mini-Cours
Le foisonnement est un phénomène physique lié à la réorganisation des grains d'un matériau granulaire. Lors de l'excavation ou du transport, les grains se déchaussent, créant des vides et augmentant le volume apparent. Le compactage a l'effet inverse : il chasse l'air, rapproche les grains et réduit le volume. Le coefficient de foisonnement est le rapport \(V_{\text{foisonné}} / V_{\text{en place}}\).
Remarque Pédagogique
C'est l'étape la plus "piégeuse" pour les débutants car elle sort de la géométrie pure. Pensez-y comme à du pop-corn : vous avez un petit volume de grains de maïs (volume en place), mais une fois chauffés (foisonnés), ils occupent un volume beaucoup plus grand. Pour obtenir un seau de pop-corn, il ne faut qu'une petite quantité de grains.
Normes
Les valeurs des coefficients de foisonnement ne sont pas inventées. Elles sont données dans la littérature technique et les normes de terrassement (comme le guide GTR - Guide des Terrassements Routiers en France) en fonction de la nature du matériau (argile, sable, grave, enrochements...).
Formule(s)
Formule du volume foisonné
Hypothèses
On suppose que le coefficient de foisonnement de 1.25 fourni par l'énoncé est correct et constant pour toute la livraison de grave.
Donnée(s)
On utilise le résultat de la question précédente et le coefficient de foisonnement.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Volume net | \(V_{\text{net}}\) | 61.85 | m³ |
| Coefficient de foisonnement | \(C_f\) | 1.25 | sans |
Astuces
Multiplier par 1.25 revient à ajouter un quart de la valeur. Un quart de ~62 est ~15.5. Donc, 62 + 15.5 = 77.5. C'est une excellente façon de vérifier rapidement le calcul.
Schéma (Avant les calculs)
On visualise la différence de volume entre le matériau en place (compacté) et le matériau foisonné.
Concept du Foisonnement
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Le volume à commander est supérieur au volume net requis.
Comparaison des volumes
Réflexions
Le résultat est de 77.3125 m³. Dans la pratique, on commande rarement une quantité aussi précise. Le chef de chantier arrondira probablement au mètre cube ou à la demi-unité supérieure, soit 77.5 m³ ou 78 m³, pour prévoir une marge de sécurité et s'adapter aux capacités des camions de livraison.
Points de vigilance
L'erreur la plus grave est d'inverser l'opération : diviser par le coefficient au lieu de multiplier. Souvenez-vous : on a besoin de plus de volume en vrac pour obtenir un volume compacté donné, donc le volume à commander est TOUJOURS supérieur au volume net.
Points à retenir
Volume à commander (foisonné) = Volume nécessaire en place (net) x Coefficient de foisonnement. Cette règle est valable pour tous les matériaux granulaires en remblai.
Le saviez-vous ?
Certains matériaux comme les argiles très plastiques peuvent avoir des coefficients de foisonnement allant jusqu'à 1.70, ce qui signifie que leur volume augmente de 70% après excavation ! La gestion des déblais devient alors un enjeu majeur sur un chantier.
FAQ
Vous pourriez vous poser les questions suivantes :
Résultat Final
A vous de jouer
Avec un volume net de 61.85 m³, si on utilisait un sable avec un coefficient de foisonnement de 1.15, quel volume faudrait-il commander ?
Outil Interactif : Simulateur de Cubage
Utilisez cet outil pour visualiser l'impact de la hauteur de la tranchée et du coefficient de foisonnement sur le volume de grave à commander. Les autres dimensions sont fixes (B=1.20m, b=0.80m, L=45m, D=0.40m).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la formule correcte pour calculer l'aire d'un trapèze ?
2. Un coefficient de foisonnement de 1.30 signifie que :
3. Si le volume net de remblai est de 100 m³ et le coefficient de foisonnement est de 1.20, quel volume devez-vous commander ?
4. Pourquoi soustrait-on le volume de la canalisation du volume brut de la tranchée ?
5. L'unité standard pour le cubage de matériaux en terrassement est :
Glossaire
- Cubage
- Terme de chantier désignant le calcul du volume (en mètres cubes) de matériaux à déplacer (déblais) ou à apporter (remblais).
- Coefficient de Foisonnement (Cf)
- Rapport entre le volume d'un matériau à l'état foisonné (en vrac, non tassé) et son volume en place une fois compacté. Ce coefficient est utilisé pour déterminer les quantités de matériaux à commander ou à évacuer. Il est toujours supérieur à 1.
- Grave
- Mélange de sables et de graviers, utilisé comme matériau de remblai, de couche de forme ou de chaussée, pour ses bonnes caractéristiques mécaniques et sa stabilité après compactage.
- VRD (Voirie et Réseaux Divers)
- Ensemble des travaux et ouvrages liés à l'aménagement des espaces publics et privés : voiries, trottoirs, réseaux d'assainissement, d'eau potable, de gaz, d'électricité et de télécommunications.
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