Calcul de la Stabilité d'un Talus (Méthode de Fellenius)

Contexte : La Stabilité des TalusAnalyse de la rupture potentielle d'un massif de sol sous son propre poids et/ou des surcharges..

Dans les projets de terrassement (routes, barrages, carrières), il est crucial de s'assurer que les pentes (talus) créées sont stables et ne risquent pas de glisser. Un glissement de terrain peut avoir des conséquences économiques et humaines désastreuses. Cet exercice se concentre sur la "méthode des tranches" (ou méthode de Fellenius), une approche classique en géotechniqueScience de l'ingénieur traitant des propriétés mécaniques des sols et des roches. pour évaluer le risque de rupture le long d'une surface circulaire.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la méthode de Fellenius pour évaluer la stabilité d'un talus en sol purement cohérent (analyse non drainée) et à calculer son coefficient de sécurité, une compétence fondamentale en ingénierie civile.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la notion de coefficient de sécurité (F) en stabilité des talus.
Appliquer la méthode de Fellenius (cas \(\phi_u=0\)) pour un cercle de rupture donné.
Calculer les forces et moments moteurs (poids) et résistants (cohésion).
Interpréter la valeur du coefficient de sécurité.

Données de l'étude

On étudie un talus de grande longueur pour un projet de déblai. Le sol est supposé homogène et cohérent, et l'analyse est menée en conditions non drainées à court terme. Un cercle de rupture potentiel a été identifié.

Fiche Technique du Sol

Caractéristique	Valeur
Type de sol	Argile saturée
Angle de frottement non drainé	\(\phi_u = 0^\circ\)
Cohésion non drainée	\(c_u = 25 \text{ kPa}\) (ou \(25 \text{ kN/m}^2\))
Poids volumique total	\(\gamma = 19 \text{ kN/m}^3\)

Géométrie du Talus et Cercle de Rupture

Paramètre	Description	Valeur	Unité
\(R\)	Rayon du cercle de rupture	20	m
\(L_{arc}\)	Longueur totale de l'arc de glissement	31.5	m
\(\sum (W_i \cdot \sin(\alpha_i))\)	Somme des forces motrices tangentielles	1250	kN/m

Questions à traiter

Définir l'équation générale du coefficient de sécurité (F) pour la méthode de Fellenius.
Simplifier cette équation pour le cas spécifique d'une analyse non drainée (sol purement cohérent, \(\phi_u=0\)).
Calculer le moment moteur total (\(M_m\)) en utilisant les données fournies.
Calculer le moment résistant total (\(M_r\)).
Calculer le coefficient de sécurité \(F\) et conclure sur la stabilité du talus.

Les bases sur la Stabilité des Talus (Méthode de Fellenius)

La méthode de Fellenius (ou méthode suédoise des tranches) est une méthode d'équilibre limite. On postule une surface de rupture (ici, circulaire) et on vérifie si les forces/moments qui résistent au glissement sont suffisants pour contrer les forces/moments qui le provoquent.

1. Coefficient de Sécurité (F)
Le coefficient de sécurité est le rapport des moments résistants (qui empêchent la rupture) sur les moments moteurs (qui la provoquent). \[ F = \frac{M_r}{M_m} = \frac{\text{Moment des forces résistantes}}{\text{Moment des forces motrices}} \] Un talus est stable si \(F > 1\) (en pratique, on vise \(F \ge 1.3 - 1.5\)).

2. Calcul des Moments (Cas général)
On décompose le massif en tranches \(i\).

Moment Moteur : Dû au poids des tranches. \(M_m = R \cdot \sum T_i = R \cdot \sum (W_i \cdot \sin(\alpha_i))\)
Moment Résistant : Dû à la cohésion et au frottement. \(M_r = R \cdot \sum (c' \cdot l_i + N_i \cdot \tan(\phi'))\)
Où \(W_i\) est le poids de la tranche, \(\alpha_i\) l'angle de sa base, \(l_i\) la longueur de l'arc, \(c'\) et \(\phi'\) les paramètres de résistance du sol, et \(N_i\) la force normale.

Correction : Calcul de la Stabilité d'un Talus (Méthode de Fellenius)

Question 1 : Définir l'équation générale du coefficient de sécurité (F)

Principe

Le coefficient de sécurité \(F\) est défini comme le rapport par lequel il faudrait diviser la résistance au cisaillement du sol pour amener le talus à l'état d'équilibre limite (F=1). On l'applique aux moments par rapport au centre du cercle de rupture.

Mini-Cours

La résistance au cisaillement d'un sol est décrite par le critère de Coulomb : \(\tau = c' + \sigma'_n \tan(\phi')\), où \(\tau\) est la résistance, \(c'\) la cohésion, \(\sigma'_n\) la contrainte normale effective et \(\phi'\) l'angle de frottement. Dans la méthode des tranches, on applique ce critère à la base de chaque tranche (\(l_i\)). La force résistante par tranche est donc \(\tau \times l_i = (c' \cdot l_i) + (N_i \cdot \tan(\phi'))\), où \(N_i = \sigma'_n \times l_i\) est la force normale. Le coefficient de sécurité \(F\) est le rapport entre la somme de ces forces résistantes et la somme des forces motrices (\(T_i = W_i \sin \alpha_i\)).

Remarque Pédagogique

Cette équation est la base de toutes les méthodes de stabilité des talus (Fellenius, Bishop, etc.). La principale différence entre les méthodes est la manière (plus ou moins précise) dont elles calculent la force normale \(N_i\) à la base de chaque tranche.

Normes

Cette formule découle directement du critère de rupture de Mohr-Coulomb, qui est le fondement de la mécanique des sols moderne pour les sols granulaires et cohérents.

Formule(s)

L'équation générale de Fellenius, exprimée en termes de forces (en divisant les moments par R), est :

F = \frac{\sum (\text{Forces Résistantes})}{\sum (\text{Forces Motrices})} = \frac{\sum (c' \cdot l_i + N_i \cdot \tan(\phi'))}{\sum (W_i \cdot \sin(\alpha_i))}

Dans la méthode spécifique de Fellenius (ou "méthode ordinaire"), on simplifie en supposant que la force normale \(N_i\) est égale à \(W_i \cdot \cos(\alpha_i)\), ce qui néglige les forces entre les tranches.

N_i \approx W_i \cdot \cos(\alpha_i)

Hypothèses

Les hypothèses fondamentales pour écrire cette équation sont :

La rupture se produit le long d'une surface circulaire.
Le problème est bi-dimensionnel (talus de longueur infinie).
Le critère de Mohr-Coulomb s'applique le long de la surface de rupture.
L'hypothèse spécifique de Fellenius est que les forces inter-tranches sont parallèles à la base de la tranche (ou négligées), menant à \(N_i = W_i \cdot \cos(\alpha_i)\).

Donnée(s)

Cette question est purement théorique et ne nécessite pas de données numériques.

Astuces

Retenez la formule comme "Ce qui retient / Ce qui pousse". "Ce qui retient" est la "colle" (cohésion \(c \cdot l\)) plus le "frottement" (\(N \tan \phi\)). "Ce qui pousse" est la composante du "poids" parallèle à la pente (\(W \sin \alpha\)).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de la tranche \(i\) (vu à la Q3) montre bien la décomposition des forces \(W_i\) en \(N_i\) et \(T_i\).

Calcul(s)

Cette étape est une substitution. On part de la formule de base de l'équilibre des forces (ou moments), qui met en rapport la résistance et l'action :

F = \frac{\sum (\text{Forces Résistantes})}{\sum (\text{Forces Motrices})} = \frac{\sum (c' \cdot l_i + N_i \cdot \tan(\phi'))}{\sum (W_i \cdot \sin(\alpha_i))}

Maintenant, nous introduisons l'hypothèse de Fellenius (ou "Méthode Ordinaire"). Cette méthode simplifie le calcul en estimant la force normale \(N_i\) à la base de la tranche comme étant simplement la composante du poids perpendiculaire à cette base : \(N_i \approx W_i \cdot \cos(\alpha_i)\). Nous substituons cette approximation dans l'équation générale :

F = \frac{\sum (c' \cdot l_i + (W_i \cdot \cos(\alpha_i)) \cdot \tan(\phi'))}{\sum (W_i \cdot \sin(\alpha_i))}

C'est l'équation générale de Fellenius recherchée. Elle sera notre point de départ pour les questions suivantes.

Schéma (Après les calculs)

Non applicable.

Réflexions

Cette équation montre que la stabilité dépend de deux types de paramètres : les paramètres géométriques (\(l_i\), \(\alpha_i\), \(W_i\) - qui dépend de \(\gamma\)) et les paramètres de résistance du sol (\(c'\) et \(\phi'\)). L'ingénieur joue sur la géométrie pour obtenir un \(F\) suffisant compte tenu des sols en place.

Points de vigilance

Ne pas oublier les "primes" (c', \(\phi'\)). Elles indiquent qu'on utilise les paramètres de résistance en termes de contraintes effectives. Dans notre exercice (cas non drainé), nous les remplacerons par les paramètres totaux \(c_u\) et \(\phi_u\).

Points à retenir

La formule de Fellenius est une somme de forces (ou de moments).
\(F = (\text{Résistance Cohésion} + \text{Résistance Frottement}) / (\text{Action Poids})\).

Le saviez-vous ?

Wolmar Fellenius était un ingénieur suédois qui a popularisé cette méthode en 1927. Bien qu'elle soit simple, elle est connue pour être "non conservatrice" (elle sous-estime \(F\)) pour les sols avec frottement (\(\phi > 0\)), parfois jusqu'à 60% ! C'est pourquoi on utilise souvent des méthodes plus raffinées (comme Bishop simplifié) aujourd'hui.

FAQ

...

Résultat Final

L'équation générale est \( F = \frac{\sum (c' \cdot l_i + (W_i \cdot \cos(\alpha_i)) \cdot \tan(\phi'))}{\sum (W_i \cdot \sin(\alpha_i))} \).

A vous de jouer

Si un sol est purement granulaire (un sable sec), quels paramètres (\(c'\) ou \(\phi'\)) seraient nuls ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 :

Concept : Formule générale de Fellenius.
Équation : \(F = \frac{\sum (c' \cdot l_i + N_i \tan \phi')}{\sum (W_i \sin \alpha_i)}\)
Hypothèse Fellenius : \(N_i = W_i \cos \alpha_i\).

Question 2 : Simplifier l'équation pour le cas non drainé (\(\phi_u=0\))

Principe

En conditions non drainées (à court terme dans les argiles saturées), on utilise une analyse en contraintes totales. La résistance au cisaillement est donnée par la cohésion non drainée \(c_u\), et l'angle de frottement non drainé \(\phi_u\) est nul.

Mini-Cours

L'analyse en conditions non drainées (\(\phi_u=0\)) est une simplification courante et sécuritaire pour les argiles saturées en chargement rapide. La charge (comme la construction du talus) est appliquée si vite que l'eau présente dans les pores du sol n'a pas le temps de s'échapper. Cette eau "piégée" subit une surpression (pression interstitielle) qui annule tout gain de résistance par frottement. La stabilité ne dépend alors que de la "colle" du sol : sa cohésion \(c_u\).

Remarque Pédagogique

Notez que ce cas (\(\phi_u=0\)) est le plus simple pour la méthode des tranches. Dès que \(\phi > 0\) (analyse drainée, à long terme, ou pour les sols pulvérulents), le calcul de \(F\) devient plus complexe car les forces normales \(N_i\) (qui dépendent de \(W_i \cdot \cos(\alpha_i)\)) entrent en jeu, et la formule ne peut plus être simplifiée aussi élégamment.

Normes

Cette approche est conforme aux principes de base de la mécanique des sols. L'Eurocode 7, par exemple, spécifie l'utilisation de cette analyse \(c_u, \phi_u=0\) (analyse en contraintes totales) pour les vérifications de stabilité à court terme dans les sols fins saturés.

Formule(s)

On repart de la formule générale de la Question 1 :

F = \frac{\sum (c' \cdot l_i + (W_i \cdot \cos(\alpha_i)) \cdot \tan(\phi'))}{\sum (W_i \cdot \sin(\alpha_i))}

Nous allons appliquer l'hypothèse \(\phi_u=0\) à cette équation.

Hypothèses

Nous posons les paramètres effectifs (\(c', \phi'\)) égaux aux paramètres non drainés (\(c_u, \phi_u\)). L'hypothèse clé est :

\(c' = c_u\) (la cohésion utilisée est la cohésion non drainée)
\(\phi' = \phi_u = 0^\circ\) (l'angle de frottement est nul)

Donnée(s)

Pas de nouvelles données numériques pour cette question, il s'agit d'une manipulation littérale de la formule.

Astuces

Le point clé de toute cette simplification tient en une seule propriété mathématique : \(\tan(0^\circ) = 0\). En voyant \(\phi_u=0\) dans l'énoncé, votre premier réflexe doit être de chercher le terme \(\tan(\phi)\) dans la formule pour le supprimer.

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma spécifique requis, il s'agit d'une simplification algébrique de la formule générale.

Calcul(s)

Étape 1 : Appliquer l'hypothèse \(\phi_u = 0\)

Nous partons de la formule générale de la Q1. Pour le cas non drainé, nous remplaçons \(c'\) par \(c_u\) et \(\phi'\) par \(\phi_u = 0^\circ\). La propriété mathématique clé est que \(\tan(0^\circ) = 0\).

F = \frac{\sum (c_u \cdot l_i + (W_i \cdot \cos(\alpha_i)) \cdot \overbrace{\tan(0)}^{=0}))}{\sum (W_i \cdot \sin(\alpha_i))}

Le terme \(\tan(0)\) étant nul, l'ensemble du terme de frottement (\((W_i \cdot \cos(\alpha_i)) \cdot \tan(0)\)) disparaît. L'équation se simplifie considérablement :

F = \frac{\sum (c_u \cdot l_i)}{\sum (W_i \cdot \sin(\alpha_i))}

Étape 2 : Simplifier la somme (cas d'un sol homogène)

L'énoncé précise que le sol est homogène. Cela signifie que la cohésion \(c_u\) est la même (constante) pour toutes les tranches \(i\). Puisqu'elle est constante, nous pouvons la "sortir" de la sommation (comme une factorisation) :

F = \frac{c_u \cdot \sum (l_i)}{\sum (W_i \cdot \sin(\alpha_i))} \quad \text{avec} \quad \sum(l_i) = L_{arc}

La somme de toutes les longueurs de base des tranches, \(\sum(l_i)\), est tout simplement la longueur totale de l'arc de rupture, que l'on note \(L_{arc}\). On obtient donc la formule simplifiée en termes de forces :

F = \frac{c_u \cdot L_{arc}}{\sum (W_i \cdot \sin(\alpha_i))}

Étape 3 : (Optionnel) Exprimer en moments

Pour revenir à la définition du coefficient de sécurité en termes de moments (\(F = M_r / M_m\)), il suffit de multiplier le numérateur (forces résistantes) et le dénominateur (forces motrices) par le même bras de levier, le rayon \(R\) :

F = \frac{R \cdot (c_u \cdot L_{arc})}{R \cdot \sum (W_i \cdot \sin(\alpha_i))} = \frac{M_r}{M_m}

Cela confirme que notre formule simplifiée est cohérente avec la définition de base du coefficient de sécurité.

Schéma (Après les calculs)

Non applicable pour cette question.

Réflexions

La formule devient un simple rapport entre la résistance totale due à la cohésion (force résistante) et la somme des forces motrices tangentielles (force motrice). Le poids des tranches n'intervient plus dans la résistance (via \(N_i\)), mais uniquement comme force motrice. La stabilité ne dépend que de \(c_u\), \(L_{arc}\) et des forces motrices.

Points de vigilance

Cette simplification n'est valable que et uniquement que si \(\phi_u = 0\). N'appliquez jamais cette formule simplifiée si un angle de frottement (même faible) est donné, car vous négligeriez toute la résistance due au frottement, ce qui conduirait à une sous-estimation majeure de la stabilité.

Points à retenir

Analyse non drainée (court terme, argile saturée) \(\rightarrow \phi_u = 0\).
La résistance ne dépend que de la cohésion \(c_u\) et de la longueur de l'arc \(L_{arc}\).
La formule de Fellenius devient : \( F = \frac{c_u \cdot L_{arc}}{\sum (W_i \cdot \sin(\alpha_i))} \).

Le saviez-vous ?

Karl von Terzaghi, le "père" de la mécanique des sols, a été le premier à formuler le principe de la contrainte effective. Ce principe explique *pourquoi* on peut utiliser \(\phi_u=0\) dans les argiles saturées : la charge rapide est initialement reprise par l'eau (surpression interstitielle), le squelette du sol (les grains) ne "voit" pas de charge supplémentaire, donc la résistance au frottement n'augmente pas.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Pour \(\phi_u=0\), l'équation se simplifie à \( F = \frac{c_u \cdot L_{arc}}{\sum (W_i \cdot \sin(\alpha_i))} \).

A vous de jouer

Si \(\phi_u = 10^\circ\) (un silt argileux), quel terme de l'équation de F (Question 1) réapparaîtrait ? (Un mot)

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 :

Concept : Analyse non drainée (\(\phi_u=0\)).
Formule Clé : \(F = (c_u \cdot L_{arc}) / (\sum W_i \sin \alpha_i)\).
Vigilance : Uniquement pour sol cohérent pur en non-drainé.

Question 3 : Calculer le moment moteur total (\(M_m\))

Principe

Le moment moteur (\(M_m\)) est la somme de tous les moments, par rapport au centre du cercle O, qui tendent à faire "tourner" et glisser le massif de sol. Ce moment est généré par le poids des tranches (\(W_i\)).

Mini-Cours

Chaque tranche \(i\) a un poids \(W_i\). On décompose ce poids en une composante normale \(N_i\) (perpendiculaire à la base) et une composante tangentielle \(T_i\) (parallèle à la base). La composante tangentielle \(T_i = W_i \cdot \sin(\alpha_i)\) est la force qui "pousse" la tranche vers le bas le long de l'arc. Le moment moteur total est la somme de ces forces tangentielles, chacune multipliée par le même bras de levier, le rayon \(R\).

Remarque Pédagogique

Dans un exercice réel, calculer \(\sum (W_i \cdot \sin(\alpha_i))\) est l'étape la plus longue. Il faut dessiner le talus et le cercle à l'échelle, diviser en 10 à 20 tranches, mesurer la surface de chaque tranche, calculer son poids (\(W_i = \text{Surface} \times \gamma\)), mesurer l'angle \(\alpha_i\) de sa base, puis faire la somme. Heureusement, l'énoncé nous donne directement le résultat de cette somme !

Normes

Le calcul du poids des terres (\(W_i\)) doit utiliser le poids volumique \(\gamma\) approprié (total, déjaugé, etc.) en fonction de la présence d'eau. Ici, \(\gamma = 19 \text{ kN/m}^3\) est le poids volumique total, ce qui est standard pour une analyse non drainée.

Formule(s)

La formule du moment moteur est :

M_m = R \cdot \sum (W_i \cdot \sin(\alpha_i))

Hypothèses

On suppose que le poids propre du sol est la seule force motrice. On néglige d'autres actions possibles comme un séisme ou une surcharge en tête de talus.

Donnée(s)

L'énoncé nous donne directement la somme des forces motrices ainsi que le rayon :

Rayon \(R = 20 \text{ m}\)
Somme des forces motrices \(\sum (W_i \cdot \sin(\alpha_i)) = 1250 \text{ kN/m}\)

Astuces

L'unité \(\text{kN/m}\) pour la somme des forces peut sembler étrange. Elle signifie "kilonewtons de force par mètre linéaire de talus". Comme le talus est supposé très long, on fait le calcul pour une "tranche" de 1 mètre d'épaisseur.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation d'une seule tranche pour comprendre les forces.

Zoom sur une tranche 'i'

Calcul(s)

Nous allons calculer le moment moteur, \(M_m\). Ce moment est l'action qui tend à faire basculer le sol. Il est égal au rayon (le bras de levier) multiplié par la somme de toutes les forces motrices tangentielles.

Formule :

M_m = R \times \sum (W_i \cdot \sin(\alpha_i))

Nous allons maintenant substituer les valeurs données dans l'énoncé. Le tableau nous fournit directement le rayon \(R\) et la somme des forces motrices \(\sum (W_i \cdot \sin(\alpha_i))\), ce qui nous évite le long calcul tranche par tranche.

Données :
\(R = 20 \text{ m}\)
\(\sum (W_i \cdot \sin(\alpha_i)) = 1250 \text{ kN/m}\)

Calcul final :

En insérant ces valeurs dans la formule :

\begin{aligned} M_m &= (20 \text{ m}) \times (1250 \text{ kN/m}) \\ M_m &= 25000 \text{ m} \cdot \text{kN/m} \\ M_m &= 25000 \text{ kN} \cdot \text{m (par mètre linéaire)} \end{aligned}

Le moment moteur total est donc de 25000 kN.m.

Schéma (Après les calculs)

Non applicable.

Réflexions

Le moment moteur, qui représente l'effort total de basculement, est de 25000 kN.m. Pour que le talus soit stable, le moment résistant (calculé à la question suivante) devra être supérieur à cette valeur.

Points de vigilance

Le piège le plus courant ici est de confondre la force et le moment. La somme \(\sum (W_i \cdot \sin(\alpha_i))\) est une force (en kN/m). Le moment moteur est cette force multipliée par le bras de levier (le rayon \(R\)), donnant un moment (en kN.m).

Points à retenir

Le moment moteur \(M_m\) est la force "qui pousse" (poids).
\(M_m = \text{Rayon} \times \text{Somme des forces tangentielles}\).

Le saviez-vous ?

Dans un vrai projet, le calcul de \(\sum (W_i \cdot \sin(\alpha_i))\) est fait par un logiciel. L'ingénieur doit alors vérifier des dizaines, voire des centaines de cercles de rupture différents pour trouver celui qui donne le coefficient de sécurité \(F\) le plus faible (le "cercle de rupture critique").

FAQ

...

Résultat Final

Le moment moteur total est \(M_m = 25000 \text{ kN.m}\).

A vous de jouer

Si le rayon \(R\) du cercle était de 25 m (mais que la somme des forces restait la même), quel serait le nouveau moment moteur \(M_m\) en kN.m ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 :

Concept : Moment Moteur (Action).
Formule : \(M_m = R \cdot \sum(W_i \sin \alpha_i)\).
Calcul : \(20 \times 1250 = 25000 \text{ kN.m}\).

Question 4 : Calculer le moment résistant total (\(M_r\))

Principe

Pour un sol purement cohérent (\(\phi_u=0\)), la résistance est fournie uniquement par la cohésion \(c_u\) qui s'oppose au glissement le long de l'arc de rupture \(L_{arc}\). Le moment résistant est cette force de cohésion totale multipliée par le rayon \(R\).

Mini-Cours

La résistance au cisaillement d'un sol (\(\tau\)) est sa "force" interne. Pour un sol purement cohérent, cette résistance est constante et vaut \(\tau = c_u\). Pour obtenir la force résistante totale, on multiplie cette contrainte de cisaillement (\(c_u\), en kN/m²) par la surface sur laquelle elle s'applique. Ici, la surface est \(L_{arc} \times 1 \text{ mètre}\). La force résistante totale est donc \(F_{res} = c_u \times L_{arc}\). Le moment résistant (\(M_r\)) est cette force multipliée par le bras de levier \(R\).

Remarque Pédagogique

Notez bien la différence : le moment moteur dépend du poids (\(\gamma\)) et de la géométrie (\(R\), \(\alpha_i\)). Le moment résistant (pour \(\phi_u=0\)) ne dépend que des propriétés du sol (\(c_u\)) et de la géométrie (\(R\), \(L_{arc}\)). Les deux sont (dans ce cas) indépendants.

Normes

L'utilisation de \(c_u\) comme une résistance constante le long de l'arc est une simplification standard pour les sols argileux homogènes en conditions non drainées.

Formule(s)

La formule du moment résistant pour \(\phi_u=0\) est :

M_r = R \cdot (c_u \cdot L_{arc})

Hypothèses

On suppose que la cohésion non drainée \(c_u\) est parfaitement homogène (la même valeur de 25 kPa) sur toute la longueur de l'arc de glissement.

Donnée(s)

On extrait les données pertinentes de l'énoncé :

Rayon \(R = 20 \text{ m}\)
Cohésion non drainée \(c_u = 25 \text{ kN/m}^2\)
Longueur de l'arc \(L_{arc} = 31.5 \text{ m}\)

Astuces

Vérifiez les unités : \(R \text{ (m)} \times c_u \text{ (kN/m}^2\text{)} \times L_{arc} \text{ (m)} = \text{kN} \cdot \text{m}\). Le résultat est bien un moment. L'analyse dimensionnelle est votre meilleure amie pour vérifier les formules !

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la force résistante le long de l'arc.

Force Résistante (Cohésion)

Calcul(s)

Nous calculons maintenant le moment résistant, \(M_r\). C'est la "capacité de retenue" du sol. Puisque \(\phi_u=0\), cette résistance provient uniquement de la cohésion \(c_u\) agissant le long de l'arc de rupture \(L_{arc}\).

Formule :

La formule est le rayon (bras de levier) multiplié par la force de cohésion totale (la contrainte \(c_u\) multipliée par la longueur d'application \(L_{arc}\)).

M_r = R \times (c_u \cdot L_{arc})

Nous allons substituer les valeurs de l'énoncé pour \(R\), \(c_u\), et \(L_{arc}\).

Données :
\(R = 20 \text{ m}\)
\(c_u = 25 \text{ kN/m}^2\) (ou 25 kPa)
\(L_{arc} = 31.5 \text{ m}\)

Calcul Étape 1 : Force résistante totale (Force\(_{res}\))

Calculons d'abord la force de cohésion totale (par mètre linéaire de talus) :

\begin{aligned} \text{Force}_{res} &= c_u \times L_{arc} \\ &= (25 \text{ kN/m}^2) \times (31.5 \text{ m}) \\ &= 787.5 \text{ kN/m} \end{aligned}

Cette force de 787.5 kN/m est la "colle" totale qui retient le massif le long de l'arc.

Calcul Étape 2 : Moment résistant total (M\(_r\))

Maintenant, nous multiplions cette force totale par le bras de levier (le rayon \(R\)) pour obtenir le moment résistant :

\begin{aligned} M_r &= R \times \text{Force}_{res} \\ M_r &= (20 \text{ m}) \times (787.5 \text{ kN/m}) \\ M_r &= 15750 \text{ kN} \cdot \text{m (par mètre linéaire)} \end{aligned}

Le moment résistant total est donc de 15750 kN.m.

Schéma (Après les calculs)

Non applicable.

Réflexions

Le moment résistant, qui représente la "capacité de retenue" maximale du sol le long de cet arc, est de 15750 kN.m. On peut déjà comparer visuellement ce chiffre à \(M_m = 25000 \text{ kN.m}\). La résistance semble bien plus faible que l'action.

Points de vigilance

Assurez-vous que \(c_u\) est en \(\text{kN/m}^2\) (kPa) et non en \(\text{N/mm}^2\) (MPa). Une erreur d'unité ici est fatale. \(1 \text{ MPa} = 1000 \text{ kPa}\) ! L'ordre de grandeur de 25 kPa est typique pour une argile molle à moyenne.

Points à retenir

Le moment résistant \(M_r\) est la force "qui retient" (cohésion).
Pour \(\phi_u=0\), \(M_r = R \times c_u \times L_{arc}\).

Le saviez-vous ?

Si le sol avait aussi un angle de frottement \(\phi > 0\), le moment résistant augmenterait car il faudrait ajouter le terme \(R \cdot \sum (W_i \cdot \cos(\alpha_i) \cdot \tan(\phi))\). Dans ce cas, paradoxalement, un poids plus élevé (plus de \(W_i\)) augmenterait la résistance au frottement (plus de \(N_i\)).

FAQ

...

Résultat Final

Le moment résistant total est \(M_r = 15750 \text{ kN.m}\).

A vous de jouer

Si la cohésion \(c_u\) était de 30 kPa (au lieu de 25), quel serait le nouveau moment résistant \(M_r\) en kN.m ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 :

Concept : Moment Résistant (Résistance).
Formule : \(M_r = R \cdot c_u \cdot L_{arc}\).
Calcul : \(20 \times 25 \times 31.5 = 15750 \text{ kN.m}\).

Question 5 : Calculer le coefficient de sécurité \(F\) et conclure

Principe

Le coefficient de sécurité \(F\) est le bilan final de notre analyse. Il compare directement la capacité de résistance du talus (\(M_r\)) à l'effort moteur qui tente de le rompre (\(M_m\)).

Mini-Cours

Interprétation du Coefficient de Sécurité (F) :

\(F > 1.3 - 1.5\) : Stable. Le talus est considéré comme stable et sécuritaire. La marge (30% à 50%) couvre les incertitudes sur les paramètres du sol (\(c_u\), \(\gamma\)) et les imperfections du modèle de calcul.
\(1.0 < F < 1.3\) : Limite / Incertain. Le talus est stable, mais la marge de sécurité est faible. À éviter.
\(F = 1.0\) : Équilibre strict. La résistance est exactement égale à l'action. Le talus est sur le point de rompre.
\(F < 1.0\) : Instable. L'action est supérieure à la résistance. La rupture est inévitable.

Remarque Pédagogique

Le calcul de \(F\) est la partie la plus simple (une division), mais l'interprétation de ce chiffre est la responsabilité la plus importante de l'ingénieur géotechnicien. Un chiffre seul ne veut rien dire sans la conclusion qui l'accompagne.

Normes

Les normes (comme l'Eurocode 7) imposent des facteurs de sécurité minimaux. Pour un talus permanent, un \(F\) minimum de 1.3 (selon l'approche de calcul) est souvent requis, voire 1.5 dans des contextes plus critiques.

Formule(s)

La formule du coefficient de sécurité :

F = \frac{M_r}{M_m}

Hypothèses

On suppose que les calculs des moments \(M_m\) et \(M_r\) des questions précédentes sont corrects et que le cercle de rupture choisi est bien le plus critique (celui donnant le F le plus faible).

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des deux questions précédentes :

Moment moteur \(M_m = 25000 \text{ kN.m}\) (calculé en Q3)
Moment résistant \(M_r = 15750 \text{ kN.m}\) (calculé en Q4)

Astuces

Pensez-y comme "Résistance / Action". Si F < 1, cela signifie que la Résistance est plus petite que l'Action. La rupture est logique.

Schéma (Avant les calculs)

Non applicable.

Calcul(s)

Nous avons maintenant tout ce qu'il faut pour le bilan final. Nous allons calculer le coefficient de sécurité \(F\) en faisant le rapport entre la résistance (ce qui retient) et l'action (ce qui pousse).

Formule :

F = \frac{\text{Moment Résistant}}{\text{Moment Moteur}} = \frac{M_r}{M_m}

Nous utilisons les valeurs que nous venons de calculer dans les questions Q3 et Q4 :

Données :
\(M_r = 15750 \text{ kN.m}\)
\(M_m = 25000 \text{ kN.m}\)

Calcul final :

On effectue la division :

\begin{aligned} F &= \frac{15750 \text{ kN.m}}{25000 \text{ kN.m}} \\ F &= 0.63 \end{aligned}

Le coefficient de sécurité est \(F = 0.63\). C'est un nombre sans dimension, car les \(\text{kN.m}\) s'annulent.

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du bilan : la balance penche du mauvais côté.

Bilan des Moments

Réflexions

Le coefficient de sécurité calculé est \(F = 0.63\).

Conclusion : Puisque \(F = 0.63 < 1.0\), le talus est instable. Les moments moteurs (dus au poids) sont significativement plus importants que les moments résistants (dus à la cohésion). Cela signifie que le glissement est non seulement probable, mais certain selon ce cercle de rupture. Des mesures correctives (adoucir la pente, drainage, renforcement) sont impératives.

Points de vigilance

Un F=0.63 est très bas et indique une rupture certaine et imminente. Ce n'est pas "juste un peu instable". Dans un cas réel, cela signifierait une erreur de conception majeure ou un changement drastique des propriétés du sol (par exemple, saturation par une inondation).

Points à retenir

Le coefficient de sécurité \(F\) est le rapport \(\frac{\text{Résistance}}{\text{Action}}\) (ou \(\frac{M_r}{M_m}\)).
Si \(F < 1.0\), le talus est instable.
L'objectif de conception est généralement \(F \ge 1.3\) à \(1.5\).

Le saviez-vous ?

Le glissement de terrain de Vaiont en Italie (1963) n'était pas un glissement de sol, mais de roche. Cependant, il illustre tragiquement le concept de stabilité. Une masse rocheuse entière a glissé dans un lac de barrage, provoquant une vague géante qui a tué plus de 2000 personnes. L'analyse de stabilité (bien que plus complexe que Fellenius) est l'outil qui permet d'éviter de telles catastrophes.

FAQ

...

Résultat Final

Le coefficient de sécurité est \(F = 0.63\). Le talus est instable.

A vous de jouer

Quelle cohésion \(c_u\) (en kPa) serait nécessaire pour obtenir un coefficient de sécurité de \(F = 1.3\) (stable) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5 :

Concept : Bilan de Stabilité.
Formule : \(F = M_r / M_m\).
Calcul : \(15750 / 25000 = 0.63\).
Conclusion : \(F < 1.0 \rightarrow\) INSTABLE.

Outil Interactif : Simulateur de Stabilité

Utilisez ce simulateur pour voir comment la cohésion (\(c_u\)) et le poids volumique (\(\gamma\)) influencent le coefficient de sécurité. (Basé sur les données de l'exercice Q3-Q5, où \(M_m\) dépend de \(\gamma\) et \(M_r\) de \(c_u\)).

Paramètres d'Entrée

Cohésion \(c_u\) (kPa) 25 kPa

Poids Volumique \(\gamma\) (kN/m³) 19 kN/m³

Résultats Clés

Moment Moteur \(M_m\) (kN.m) -

Moment Résistant \(M_r\) (kN.m) -

Coefficient Sécurité (F) -

Glossaire

Géotechnique: Science de l'ingénieur traitant des propriétés mécaniques des sols et des roches pour les projets de construction.
Équilibre Limite: Méthode d'analyse postulant que la rupture se produit lorsque les forces motrices égalent les forces résistantes (F=1).
Cohésion non drainée (\(c_u\)): Résistance au cisaillement d'un sol saturé (comme l'argile) lorsqu'il est déformé rapidement sans permettre à l'eau de s'échapper.
Angle de frottement interne (\(\phi\)): Paramètre du sol décrivant sa résistance au cisaillement due au frottement et à l'enchevêtrement entre les grains de sol.
Coefficient de Sécurité (F): Rapport entre la résistance disponible (moments résistants) et la sollicitation (moments moteurs). Un F < 1 indique une rupture.

Calcul de la Stabilité d’un Talus (Méthode de Fellenius)

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique du Sol

Géométrie du Talus et Cercle de Rupture

Questions à traiter

Les bases sur la Stabilité des Talus (Méthode de Fellenius)

Correction : Calcul de la Stabilité d'un Talus (Méthode de Fellenius)

Question 1 : Définir l'équation générale du coefficient de sécurité (F)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Simplifier l'équation pour le cas non drainé (\(\phi_u=0\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Calculer le moment moteur total (\(M_m\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Zoom sur une tranche 'i'

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Calculer le moment résistant total (\(M_r\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Force Résistante (Cohésion)