Calcul de Coordonnées Lambert 93
Contexte : Le rayonnement topographique.
Sur un chantier de terrassement, un géomètre doit implanter un nouveau point P2 à partir d'une station de référence connue ST1. Grâce à sa station totaleInstrument de topographie permettant de mesurer des angles et des distances., il a mesuré l'angle et la distance entre ST1 et P2. Votre mission est de calculer les coordonnées planes du point P2 dans le système de projection Lambert 93Système de projection conique conforme sécante utilisé pour la cartographie de la France métropolitaine., qui est le système légal en France.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est un cas d'application fondamental en topographie, utilisé quotidiennement sur les chantiers pour le positionnement précis des ouvrages.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le principe du calcul de coordonnées par rayonnement.
- Maîtriser les formules de calcul de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\).
- Savoir utiliser le gisementAngle horizontal mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de la direction du Nord (axe Y). et la distance pour déterminer des coordonnées.
- Prendre conscience de l'importance des unités d'angle (le grade ou gon).
Données de l'étude
Schéma de la situation
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coordonnées ST1 | Point de station connu | X = 650 123.45 Y = 6 860 567.89 |
m |
| Gisement ST1 → P2 | Angle depuis l'axe Y (Nord) vers P2 | 150.00 | gon |
| Distance ST1 → P2 | Distance horizontale mesurée | 75.50 | m |
Questions à traiter
- Calculer les projections \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) entre la station ST1 et le point P2.
- Déterminer les coordonnées Lambert 93 complètes (X et Y) du point P2.
- À titre de vérification, calculez le gisement et la distance "retour" depuis le point P2 vers la station ST1.
- Un troisième point P3 a pour coordonnées \(X = 650 200.00 \text{ m}\) et \(Y = 6 860 600.00 \text{ m}\). Calculez le gisement et la distance de la visée ST1 → P3.
Les bases du calcul topographique
Le calcul de coordonnées par rayonnement est une méthode fondamentale en topographie. Elle consiste à déterminer la position d'un point inconnu (P2) à partir d'un point connu (ST1) en mesurant un angle (le gisement) et une distance.
1. Le Gisement
Le gisement d'une direction AB est l'angle horizontal mesuré dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre) entre l'axe des Y (direction du Nord) et cette direction AB. En France, l'unité d'angle légale et la plus utilisée en topographie est le grade (symbole : gon ou gr), où un tour complet fait 400 gon.
2. Formules de calcul
Les variations en X (\(\Delta X\)) et en Y (\(\Delta Y\)) sont calculées à l'aide de la trigonométrie dans un triangle rectangle formé par la distance et les axes.
\[ \Delta X = D \cdot \sin(G) \]
\[ \Delta Y = D \cdot \cos(G) \]
Les coordonnées du point final sont alors :
\[ X_{\text{P2}} = X_{\text{ST1}} + \Delta X \]
\[ Y_{\text{P2}} = Y_{\text{ST1}} + \Delta Y \]
Correction : Calcul de Coordonnées Lambert 93
Question 1 : Calculer les projections \(\Delta X\) et \(\Delta Y\)
Principe (le concept physique)
Le principe est de décomposer un déplacement oblique (défini par une distance et une direction) en deux déplacements rectangulaires le long des axes cardinaux (Est-Ouest pour X, Nord-Sud pour Y). C'est la transformation de coordonnées polaires (Distance, Gisement) en coordonnées cartésiennes (\(\Delta X\), \(\Delta Y\)).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
En topographie, le plan est orienté avec l'axe Y pointant vers le Nord et l'axe X vers l'Est. Le gisement (G) est l'angle qui part de l'axe Y et tourne dans le sens horaire. Les formules \(\Delta X = D \cdot \sin(G)\) et \(\Delta Y = D \cdot \cos(G)\) découlent directement de la définition des fonctions sinus et cosinus dans le cercle trigonométrique adapté à cette convention topographique.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Avant tout calcul, ayez le réflexe de dessiner un petit cercle avec les quatre points cardinaux (0, 100, 200, 300 gon). Placez approximativement votre gisement (ici 150 gon) pour visualiser dans quel quadrant vous vous trouvez (ici, Sud-Est). Cela vous permettra de vérifier instantanément le signe de vos futurs \(\Delta X\) (doit être +) et \(\Delta Y\) (doit être -).
Normes (la référence réglementaire)
Les calculs planimétriques en France doivent se référer au système de projection légal, le Lambert 93. Les formules de rayonnement sont la base mathématique pour passer d'un point à un autre dans ce système plan.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formules des projections
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Nous reprenons les données de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Gisement | G | 150.00 | gon |
| Distance | D | 75.50 | m |
Astuces (Pour aller plus vite)
Pour un gisement G (en gon) :
• Si 0 < G < 100 : \(\Delta X\) > 0, \(\Delta Y\) > 0 (Nord-Est)
• Si 100 < G < 200 : \(\Delta X\) > 0, \(\Delta Y\) < 0 (Sud-Est)
• Si 200 < G < 300 : \(\Delta X\) < 0, \(\Delta Y\) < 0 (Sud-Ouest)
• Si 300 < G < 400 : \(\Delta X\) < 0, \(\Delta Y\) > 0 (Nord-Ouest)
Notre gisement de 150 gon est bien dans le cas Sud-Est.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Conversion du gisement en radians
Formule de conversion
Application numérique
Étape 2 : Calcul des projections
Calcul de la projection \(\Delta X\)
Calcul de la projection \(\Delta Y\)
Schéma (Après les calculs)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le \(\Delta X\) est positif, ce qui signifie un déplacement vers l'Est. Le \(\Delta Y\) est négatif, indiquant un déplacement vers le Sud. Ceci est parfaitement cohérent avec un gisement de 150 gon, situé dans le quadrant Sud-Est.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est d'oublier de configurer sa calculatrice en mode "Radians" après avoir fait la conversion, ou de se tromper dans la formule de conversion. Une autre erreur classique est d'inverser Sinus et Cosinus entre \(\Delta X\) et \(\Delta Y\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Pour cette question, il faut absolument maîtriser :
1. La conversion Grades → Radians : \(\text{rad} = \text{gon} \times \pi / 200\).
2. Les deux formules de base : \(\Delta X = D \cdot \sin(G)\) et \(\Delta Y = D \cdot \cos(G)\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le grade (ou gon) a été créé en France après la Révolution, en même temps que le système métrique. L'idée était de diviser l'angle droit en 100 unités pour faciliter les calculs décimaux, au lieu des 90 unités du système sexagésimal (degrés).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le gisement était de 50 gon pour la même distance (75.50 m), quelles seraient les valeurs de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) ?
Question 2 : Déterminer les coordonnées Lambert 93 de P2
Principe (le concept physique)
Le principe est une simple translation. On connaît la position de départ (les coordonnées de ST1) et on connaît le déplacement à effectuer (les vecteurs \(\Delta X\) et \(\Delta Y\)). En appliquant ce déplacement au point de départ, on trouve la position d'arrivée (les coordonnées de P2).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
En géométrie vectorielle, les coordonnées d'un point P2 peuvent être trouvées en ajoutant le vecteur de déplacement `ST1 -> P2` aux coordonnées du point de départ ST1. C'est l'application directe de la relation de Chasles pour les vecteurs de position : `Vecteur(OP2) = Vecteur(OST1) + Vecteur(ST1P2)`, où O est l'origine du repère.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Prenez l'habitude de poser vos calculs verticalement, en alignant les X et les Y. Cela limite les erreurs d'inattention, surtout lorsque vous devez enchaîner les calculs pour plusieurs points. Soyez particulièrement attentif aux signes de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\).
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul de coordonnées doit être réalisé sans arrondi intermédiaire excessif pour garantir la précision requise par les normes de tolérance des chantiers de BTP (quelques centimètres en général).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formules des coordonnées finales
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
On utilise les coordonnées de ST1 issues de l'énoncé et les projections \(\Delta X\), \(\Delta Y\) calculées à la question 1.
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| \(X_{\text{ST1}}\) | 650 123.45 | m |
| \(Y_{\text{ST1}}\) | 6 860 567.89 | m |
| \(\Delta X\) | +53.39 | m |
| \(\Delta Y\) | -53.39 | m |
Astuces (Pour aller plus vite)
Pour éviter les erreurs sur de grands nombres, faites un calcul mental rapide avec des valeurs arrondies. \(X_{\text{ST1}}\) se termine par `...23`. On ajoute `53`. Le résultat doit se terminer aux alentours de `...76`. \(Y_{\text{ST1}}\) se termine par `...67`. On soustrait `53`. Le résultat doit se terminer aux alentours de `...14`. Cela permet de détecter une erreur de frappe grossière sur la calculatrice.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la coordonnée X
Calcul de la coordonnée Y
Schéma (Après les calculs)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Les coordonnées obtenues sont de grands nombres, ce qui est normal en Lambert 93. Le X a 6 chiffres avant la virgule (autour de 600 000) et le Y en a 7 (autour de 6 800 000). Le point P2 se trouve bien au Sud-Est de ST1, comme prévu.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Une erreur courante est une faute de frappe en recopiant les coordonnées de base de la station, qui sont de grands nombres. Une autre est d'inverser l'addition, par exemple `\(\Delta X\) + \(X_{\text{ST1}}\)` est correct, mais on peut être tenté d'inverser les rôles si on calcule le gisement à partir de deux points connus.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La méthode est une "recette" simple :
1. Je pars d'un point connu (X, Y).
2. Je calcule mon déplacement (\(\Delta X\), \(\Delta Y\)) grâce à la distance et au gisement.
3. J'ajoute le déplacement à mon point de départ pour trouver le point d'arrivée.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Johann Heinrich Lambert, mathématicien du 18ème siècle, a développé plusieurs projections cartographiques. La projection "conique conforme" qui porte son nom est idéale pour les pays ayant une grande étendue en longitude (comme la France ou les États-Unis) car elle conserve bien les angles, ce qui est crucial pour la navigation et la topographie.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
En repartant du point ST1, calculez la coordonnée X d'un point P3 si le gisement ST1 → P3 est de 325 gon et la distance de 100 m.
Question 3 : À titre de vérification, calculez le gisement et la distance "retour" depuis le point P2 vers la station ST1.
Principe (le concept physique)
Le principe est l'inverse du rayonnement : on part de deux points dont on connaît les coordonnées pour retrouver les éléments qui les lient, c'est-à-dire la distance qui les sépare et l'orientation de l'un par rapport à l'autre (le gisement). On transforme des coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La distance entre deux points \(A(X_A, Y_A)\) et \(B(X_B, Y_B)\) se calcule avec le théorème de Pythagore : \( D = \sqrt{(X_B-X_A)^2 + (Y_B-Y_A)^2} \). Le gisement se trouve grâce à la fonction arc tangente. On utilise la fonction `atan2(\(\Delta X\), \(\Delta Y\))` qui gère automatiquement les quadrants et donne un résultat entre \(-\pi\) et \(+\pi\) radians.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le calcul du gisement retour est LE réflexe de vérification par excellence en topographie. Le gisement retour \(G_{BA}\) doit toujours être égal au gisement aller \(G_{AB} \pm 200\) gon. La distance doit, elle, être identique. Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur dans vos calculs.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Calcul des projections inverses
Calcul de la distance
Calcul du gisement (en radians puis en grades)
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| \(X_{\text{ST1}}\) | 650 123.45 | m |
| \(Y_{\text{ST1}}\) | 6 860 567.89 | m |
| \(X_{\text{P2}}\) | 650 176.84 | m |
| \(Y_{\text{P2}}\) | 6 860 514.50 | m |
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Calcul des projections
Étape 2 : Calcul de la distance
Étape 3 : Calcul du gisement
Un gisement doit être positif, on ajoute 400 gon.
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La distance calculée (75.50 m) est identique à la distance de l'énoncé. Le gisement retour (350.00 gon) est bien égal au gisement aller plus 200 gon (150.00 + 200 = 350.00). La vérification est parfaite, nos calculs des questions 1 et 2 sont justes.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est l'ordre des termes dans `atan2`. En topographie, on utilise `atan2(\(\Delta X\), \(\Delta Y\))`. Beaucoup de langages de programmation utilisent `atan2(y, x)`, ce qui inverserait les arguments. De plus, ne soyez pas surpris par un résultat négatif en radians ou en grades ; il suffit d'ajouter un tour complet (400 gon) pour le rendre positif.
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Question 4 : Calculez le gisement et la distance de la visée ST1 → P3.
Principe (le concept physique)
C'est exactement le même principe que pour la question 3 : on utilise les coordonnées cartésiennes de deux points (ST1 et P3) pour en déduire leurs coordonnées polaires relatives (Distance et Gisement).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le calcul inverse repose sur la résolution d'un triangle rectangle formé par les projections \(\Delta X\) et \(\Delta Y\). La distance \(D\) est l'hypoténuse, calculée par Pythagore. Le gisement est l'angle directeur, déterminé à partir de l'arc tangente des projections. La fonction `atan2(\(\Delta X\), \(\Delta Y\))` est l'outil mathématique idéal car elle résout l'angle sur un tour complet (360° ou 400 gon) en tenant compte du signe de chaque projection, ce qui place automatiquement le résultat dans le bon quadrant.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Avant de calculer le gisement, observez les signes de vos \(\Delta X\) et \(\Delta Y\). Ici, \(\Delta X\) sera positif (on va vers l'Est) et \(\Delta Y\) sera également positif (on va vers le Nord). Le point P3 est donc dans le quadrant Nord-Est. Votre gisement final doit impérativement être compris entre 0 et 100 gon. C'est une vérification simple et rapide qui évite beaucoup d'erreurs.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Calcul des projections
Calcul de la distance et du gisement
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| \(X_{\text{ST1}}\) | 650 123.45 | m |
| \(Y_{\text{ST1}}\) | 6 860 567.89 | m |
| \(X_{\text{P3}}\) | 650 200.00 | m |
| \(Y_{\text{P3}}\) | 6 860 600.00 | m |
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Calcul des projections
Étape 2 : Calcul de la distance
Étape 3 : Calcul du gisement
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le point P3 se situe dans le quadrant Nord-Est par rapport à ST1 (\(\Delta X\) et \(\Delta Y\) sont positifs). Le gisement calculé, 74.61 gon, est bien compris entre 0 et 100 gon, ce qui est cohérent.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La principale difficulté du calcul inverse est la détermination correcte de l'angle. Si vous utilisez une simple fonction `atan(\(\Delta X\) / \(\Delta Y\))`, vous obtiendrez un angle entre -100 et +100 gon et devrez ajouter une correction manuelle selon le quadrant. L'utilisation de `atan2` est fortement recommandée car elle évite ces corrections manuelles sources d'erreurs.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Pour le calcul inverse :
1. Calculez les \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) en faisant (Point Final - Point de Départ).
2. Calculez la distance avec Pythagore : \(D=\sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2}\).
3. Calculez le gisement avec `atan2(\(\Delta X\), \(\Delta Y\))` et convertissez-le en grades.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quels seraient le gisement et la distance si le point P3 avait pour coordonnées \(X = 650046.90\) et \(Y = 6860514.50\) ?
Outil Interactif : Simulateur de Rayonnement
Utilisez les curseurs pour modifier le gisement et la distance, et observez en temps réel l'impact sur les coordonnées calculées et sur le graphique.
Paramètres de Visée
Résultats Calculés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est l'unité d'angle la plus courante en topographie française ?
2. Un gisement de 200 gon correspond à une visée vers...
3. Pour calculer \(\Delta X\), quelle fonction trigonométrique du gisement utilise-t-on ?
4. Si le gisement ST1 → P2 est de 50 gon, le gisement retour P2 → ST1 est de :
5. Si \(\Delta X\) est négatif et \(\Delta Y\) est positif, la visée se trouve dans le quadrant :
Glossaire
- Coordonnées Lambert 93
- Système de projection cartographique officiel pour la France métropolitaine. Il permet de représenter la surface courbe de la Terre sur une carte plane avec une déformation minimale.
- Gisement
- Angle horizontal mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre, à partir de la direction du Nord (l'axe Y en Lambert) jusqu'à la direction visée.
- Station totale (ou Tachéomètre)
- Appareil de géomètre qui mesure électroniquement les angles horizontaux, les angles verticaux et les distances. Il est l'outil de base pour le calcul par rayonnement.
- Grade (ou Gon)
- Unité de mesure d'angle où un cercle complet est divisé en 400 grades. Un angle droit mesure 100 gon.
D’autres exercices d’études et préparation:
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