Analyse d'un profil en travers mixte
Contexte : Le calcul des cubaturesLe calcul des volumes de terre à déplacer (déblais et remblais) lors de travaux de terrassement..
En génie civil, et plus particulièrement dans les projets routiers ou de plateformes, le mouvement des terres est un poste de coût majeur. L'objectif est souvent "d'équilibrer" les déblais (terres excavées) et les remblais (terres ajoutées) pour minimiser les apports ou évacuations de matériaux.
Cet exercice vous apprendra à analyser un profil en traversUne coupe verticale perpendiculaire à l'axe d'un projet (route, canal...) qui montre le terrain naturel et le projet fini. mixte (comportant à la fois du déblai et du remblai) pour en calculer les surfaces.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser un problème de terrassement en utilisant la géométrie analytique (équations de droites) pour trouver des points d'intersection clés et calculer des surfaces complexes.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et lire un profil en travers mixte (déblai/remblai).
- Modéliser le terrain naturel (TN) et les talus du projet par des équations de droites.
- Calculer les coordonnées des "points de piquetage" (intersections talus/TN).
- Déterminer le "point de passage" (intersection TN/Projet).
- Calculer les surfaces de déblai (\(S_{\text{D}}\)) et de remblai (\(S_{\text{R}}\)) d'un profil.
Données du Profil "P1"
Fiche Technique du Projet
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Largeur de la plateforme | 10,00 m (de x = -5 m à x = +5 m) |
| Altitude (Z) de la plateforme | Z = 100,00 m |
| Pente du talus de déblai | 1/1 (p=1) (1m horizontal pour 1m vertical) |
| Pente du talus de remblai | 2/1 (p=2) (2m horizontal pour 1m vertical) |
Schéma de principe d'un profil mixte
Coordonnées du Terrain Naturel (TN)
| Point | Abscisse (X) | Altitude (Z) |
|---|---|---|
| A | -10,00 m | 102,00 m |
| B | 0,00 m (Axe) | 100,50 m |
| C | +10,00 m | 98,00 m |
Questions à traiter
- Déterminer l'équation de la droite du segment de TN [B-C].
- Déterminer les coordonnées exactes du "point de passage" \(P_{\text{T}}\) (où le TN croise l'altitude du projet Z=100).
- Calculer les coordonnées du point de piquetage de déblai \(P_{\text{G}}\) (intersection du talus de déblai gauche avec le TN).
- Calculer les coordonnées du point de piquetage de remblai \(P_{\text{D}}\) (intersection du talus de remblai droit avec le TN).
- Calculer la surface de déblai \(S_{\text{D}}\) et la surface de remblai \(S_{\text{R}}\) de ce profil.
Les bases du calcul de cubatures
Le calcul des cubatures (volumes) de terrassement repose sur la détermination des surfaces de déblai et de remblai de plusieurs profils en travers successifs. La première étape est toujours de calculer la surface de chaque profil.
1. Géométrie Analytique : Équation d'une droite
Pour trouver les points d'intersection, nous modélisons le TN et les talus comme des droites. Une droite passant par deux points \(A(x_{\text{A}}, z_{\text{A}})\) et \(B(x_{\text{B}}, z_{\text{B}})\) a une pente \(m\) et une équation :
\[ m = \frac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{x_{\text{B}} - x_{\text{A}}} \]
\[ z - z_{\text{A}} = m \cdot (x - x_{\text{A}}) \Rightarrow z = m \cdot x + (z_{\text{A}} - m \cdot x_{\text{A}}) \]
L'intersection de deux droites se trouve en égalisant leurs équations ( \(z_1 = z_2\) ).
2. Pente de Talus (p)
La pente 'p' est le rapport \(\Delta x / \Delta z\). Une pente de 2/1 (p=2) signifie 2m horizontalement pour 1m verticalement. La pente de la droite \(m = \Delta z / \Delta x\) est donc \(1/p\).
- Talus de déblai (remonte) : pente \(m = +1/p\) (à droite) ou \(m = -1/p\) (à gauche).
- Talus de remblai (descend) : pente \(m = -1/p\) (à droite) ou \(m = +1/p\) (à gauche).
3. Calcul de Surface (Formule du Géomètre)
Pour un polygone défini par \(n\) sommets \((x_1, z_1), (x_2, z_2), ..., (x_n, z_n)\) dans l'ordre, la surface \(S\) est donnée par :
\[ S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i \cdot z_{i+1} - x_{i+1} \cdot z_i) \right| \]
(avec \((x_{n+1}, z_{n+1}) = (x_1, z_1)\))
Correction : Analyse d'un profil en travers mixte
Question 1 : Déterminer l'équation de la droite du segment de TN [B-C]
Principe
Nous allons utiliser la géométrie analytique pour trouver l'équation de la droite ( \(z = mx + b\) ) qui passe par les deux points connus B et C du terrain naturel. C'est la traduction d'un problème géographique (le terrain) en un problème mathématique (une équation) que nous pouvons ensuite résoudre.
Mini-Cours
Toute droite non verticale peut être décrite par l'équation \(z = mx + b\), où \(m\) est la pente (la variation de \(z\) pour une variation de 1 en \(x\)) et \(b\) est l'ordonnée à l'origine (la valeur de \(z\) lorsque \(x=0\)). Si on connaît deux points, on peut trouver ces deux inconnues. La pente \(m\) est le 'taux de montée' (ou de descente), et \(b\) est l'altitude de départ à l'abscisse \(x=0\).
Remarque Pédagogique
Cette étape est fondamentale. Modéliser le terrain par des équations nous permet de "calculer" le terrain, au lieu de simplement le "dessiner". C'est la base de tous les logiciels de topographie et de terrassement.
Normes
Il n'y a pas de "norme" à proprement parler, mais une convention mathématique universelle. En topographie, l'axe des \(x\) représente la distance par rapport à l'axe du projet (positif à droite) et l'axe des \(z\) (parfois \(y\)) représente l'altitude.
Formule(s)
Pente (m)
Équation de droite (point B)
Hypothèses
Nous posons l'hypothèse fondamentale que le terrain naturel est linéaire (une droite parfaite) entre les points B et C. Dans la réalité, c'est une approximation.
Donnée(s)
Points du Terrain Naturel (TN) :
| Point | X (m) | Z (m) |
|---|---|---|
| B | 0,00 | 100,50 |
| C | 10,00 | 98,00 |
Astuces
Puisque le point B est sur l'axe \(x=0\), son altitude \(z_{\text{B}} = 100,50\) est directement l'ordonnée à l'origine (\(b\)). Le calcul de l'équation \(z = mx + b\) est donc immédiat une fois la pente \(m\) calculée.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation des deux points B et C dans le repère. Nous cherchons l'équation de la droite qui les relie.
Modélisation du segment [B-C]
Calcul(s)
Nous allons substituer les valeurs de B(0, 100.50) et C(10, 98.00) dans les formules.
Étape 1 : Calcul de la pente (m)
Étape 2 : Détermination de l'équation (avec le point B)
Nous utilisons la formule \( z - z_{\text{B}} = m \cdot (x - x_{\text{B}}) \) avec les valeurs de B(\(x_{\text{B}}=0, z_{\text{B}}=100.50\)) et la pente \(m=-0.25\) que l'on vient de trouver.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma est identique au précédent, mais nous pouvons maintenant légender la droite avec son équation trouvée.
Résultat de la modélisation
Réflexions
La pente est négative (-0.25), ce qui correspond à un terrain qui descend de l'axe (B) vers la droite (C), comme on peut le voir sur les données (\(z_{\text{C}} < z_{\text{B}}\)). Cela signifie que pour chaque 1 mètre avancé horizontalement vers la droite, le terrain descend de 0,25 mètre (ou 25 cm). Le résultat est cohérent.
Points de vigilance
Attention à l'ordre des points pour le calcul de la pente : \( (z_2 - z_1) / (x_2 - x_1) \). Inverser l'un sans l'autre (ex: \( (z_2 - z_1) / (x_1 - x_2) \)) inversera le signe de la pente et faussera tous les calculs suivants.
Points à retenir
- La modélisation d'un segment de terrain passe par le calcul de l'équation de la droite qui relie deux points connus.
- La pente \(m\) est \(\Delta z / \Delta x\).
Le saviez-vous ?
Cette méthode de modélisation linéaire est la base des Modèles Numériques de Terrain (MNT) de type "TIN" (Triangulated Irregular Network), qui relient des points levés par des triangles pour modéliser une surface.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape :
Résultat Final
A vous de jouer
Sur le même principe, calculez l'équation du segment [A-B] (Point A: (-10, 102)). Quelle est sa pente ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q1 :
- Concept : Équation de droite \(z = mx + b\).
- Formule : \(m = (z_2-z_1) / (x_2-x_1)\).
- Résultat : \(z = -0,25x + 100,50\).
Question 2 : Déterminer les coordonnées du "point de passage" \(P_{\text{T}}\)
Principe
Le "point de passage" est l'endroit où le terrain naturel (TN) croise la plateforme du projet. L'altitude du projet est \(Z_{\text{P}} = 100,00\) m. Nous devons trouver à quel \(x\) le TN a une altitude de 100,00 m. C'est un simple problème de 'recherche d'inconnue' : on connaît \(z\), on cherche \(x\).
Mini-Cours
Nous devons d'abord identifier quel segment du TN (A-B ou B-C) contient l'altitude Z=100.
- Segment A-B : Z va de 102,00 à 100,50 (ne contient pas 100,00, son point le plus bas est 100,50).
- Segment B-C : Z va de 100,50 à 98,00 (contient 100,00).
Remarque Pédagogique
Ce point est la frontière géométrique entre le déblai et le remblai. Son calcul est essentiel pour séparer les deux zones et calculer les surfaces correctement. Un profil sans point de passage est soit en "tout déblai", soit en "tout remblai".
Normes
Le "point de passage" est un terme de métier en terrassement pour désigner cette intersection \(TN \cap Projet\).
Formule(s)
Équation TN [B-C]
Condition
Hypothèses
On suppose que la plateforme du projet est parfaitement horizontale à Z=100. On réutilise l'hypothèse que le TN est linéaire entre B et C.
Donnée(s)
Altitude du projet \(Z_{\text{P}} = 100,00\) m. Équation du TN [B-C] : \(z = -0,25x + 100,50\).
Astuces
Nous avons l'équation \(z = f(x)\). On nous donne \(z\) (100.00) et on cherche \(x\). Il s'agit simplement d'isoler l'inconnue \(x\) dans l'équation.
Schéma (Avant les calculs)
Schéma montrant la ligne TN [B-C] et la ligne horizontale Z=100, avec une interrogation à l'intersection.
Recherche du Point de Passage \(P_{\text{T}}\)
Calcul(s)
On pose l'altitude du TN égale à l'altitude du Projet pour trouver le \(x\) de l'intersection.
Étape 1 : Égalisation et résolution de \(x\)
On pose \(z_{\text{Projet}} = z_{\text{TN}}\) et on utilise l'équation de [B-C]. On isole ensuite \(x\).
On passe 100,50 à gauche :
On divise par -0,25 :
Étape 2 : Coordonnées du point
L'abscisse est \(x=2,00\). L'altitude est celle du projet, que nous avons utilisée pour le calcul.
Schéma (Après les calculs)
Le même schéma, mais avec le point \(P_{\text{T}}(2, 100)\) clairement étiqueté à sa coordonnée \(x\) trouvée.
Résultat du Point de Passage
Réflexions
Ce point \(P_{\text{T}}(2, 100)\) est crucial. À gauche de ce point (\(x < 2\)), le TN est au-dessus du projet (Déblai). À droite (\(x > 2\)), le TN est en-dessous (Remblai).
Points de vigilance
Vérifiez toujours que l'abscisse \(x\) trouvée est bien dans l'intervalle du segment utilisé. Ici, \(x=2,00\) est bien compris entre \(x_{\text{B}}=0\) et \(x_{\text{C}}=10\). Si le résultat avait été \(x=12\), le calcul serait faux car le point de passage ne serait pas sur ce segment.
Points à retenir
- Le point de passage est l'intersection (s'il existe) entre le TN et l'altitude de la plateforme projet.
- Il sépare les zones de déblai et de remblai.
Le saviez-vous ?
Dans les logiciels de projet routier (comme Mensura ou Covadis), ces points de passage sont calculés automatiquement pour des milliers de profils. La ligne reliant tous les points de passage s'appelle la "ligne de zéro" ou "l'entrée en terre".
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape :
Résultat Final
A vous de jouer
Si la plateforme était à Z=101, quel serait le point de passage \(x\) ? (Indice : il serait sur le segment [A-B], dont l'équation est \(z = -0.15x + 100.5\)).
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q2 :
- Concept : Intersection \(TN \cap Projet\).
- Formule : Résoudre \(z_{\text{TN}} = z_{\text{Projet}}\).
- Résultat : \(P_{\text{T}}(2,00, 100,00)\).
Question 3 : Calculer les coordonnées du piquetage de déblai \(P_{\text{G}}\)
Principe
Le piquetage \(P_{\text{G}}\) (point Gauche) est l'intersection du talus de déblai avec le terrain naturel. Puisque nous sommes à gauche (\(x < 2\)), il s'agit bien d'un déblai. Le talus part du coin gauche de la plateforme (\(x=-5, z=100\)) et croise le segment de TN [A-B].
Mini-Cours
Un talus de déblai "remonte" depuis la plateforme. La pente est \(p=1/1\). Pour un talus à gauche (\(x\) diminue), l'altitude \(z\) doit augmenter. Une diminution de \(x\) (\(\Delta x < 0\)) entraînant une augmentation de \(z\) (\(\Delta z > 0\)), la pente mathématique \(m = \Delta z / \Delta x\) est négative.
Visualisation : si on recule de 1m ( \(\Delta x = -1\) ), on doit monter de 1m ( \(\Delta z = +1\) ) pour suivre le talus. Donc \(m = \Delta z / \Delta x = +1 / -1 = -1\). Le calcul \(m = -1/p\) est correct.
Remarque Pédagogique
Le piquetage est le "pied de talus" (en remblai) ou la "crête de talus" (en déblai). C'est la limite physique des travaux de terrassement, là où le projet "rattrape" le terrain naturel.
Normes
La pente de 1/1 (soit 100%, ou 45°) est une pente couramment utilisée pour les déblais dans des sols cohésifs (argiles, limons) qui se tiennent bien. Pour des sables, on utiliserait une pente plus faible (ex: 3/2).
Formule(s)
Équation 1 : TN [A-B]
Calcul de la pente \(m_{\text{AB}}\) :
Équation (passant par B(0, 100.5), qui est l'ordonnée à l'origine) :
Équation 2 : Talus Déblai Gauche
Point de départ \(P_{\text{plat}} = (-5, 100)\). Pente \(p=1/1\). Côté gauche, déblai (remonte) : \(m = -1/p = -1\).
Équation (point-pente) : \( z - z_1 = m \cdot (x - x_1) \). On remplace par \(P_{\text{plat}}\) et \(m\).
Attention au double signe \(x - (-5)\) :
On passe -100 à droite :
Hypothèses
On suppose que le talus de déblai est une droite parfaite et que le TN est linéaire entre les points A et B.
Donnée(s)
Point plateforme gauche \(P_{\text{plat}}(-5, 100)\). Pente déblai \(p=1\) (donc \(m=-1\)). Équation TN [A-B] : \(z = -0,15x + 100,50\).
Astuces
Nous avons deux équations de droite (\(z_{\text{TN}}\) et \(z_{\text{Talus}}\)) et nous cherchons leur unique point d'intersection. Il suffit d'égaliser les deux équations (\(z_{\text{TN}} = z_{\text{Talus}}\)) pour trouver l'abscisse \(x\) de l'intersection.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation du problème : la droite du TN [A-B] et la droite du talus partant de (-5, 100) avec une pente de -1. On cherche \(P_{\text{G}}\).
Recherche du Piquetage Gauche \(P_{\text{G}}\)
Calcul(s)
On cherche le point \( (x, z) \) où les deux droites se croisent, donc \( z_{\text{TN}} = z_{\text{Talus}} \).
Étape 1 : Intersection (Trouver \(x\))
On pose \( z_{\text{TN}} = z_{\text{Talus}} \) pour trouver le \(x\) commun.
On regroupe les 'x' à gauche et les constantes à droite :
On résout \(x\) :
Étape 2 : Altitude (Trouver \(z\))
On remplace \(x=-6,47\) dans l'équation la plus simple (celle du talus) :
Schéma (Après les calculs)
Le même schéma, mais avec le point \(P_{\text{G}}(-6.47, 101.47)\) étiqueté. On vérifie la cohérence : x=-6.47 est bien entre -5 et -10. Z=101.47 est bien entre 100.5 et 102.
Résultat Piquetage Gauche
Réflexions
Le point \(P_{\text{G}}(-6,47, 101,47)\) est cohérent. Son abscisse \(x = -6,47\) m est bien à gauche du coin de la plateforme (\(x = -5\) m). Son altitude \(z = 101,47\) m est bien au-dessus de la plateforme (\(z = 100\) m), ce qui confirme que c'est un déblai.
Points de vigilance
Ne pas se tromper sur le signe de la pente du talus. Un talus de déblai "remonte" depuis la plateforme vers le TN. À gauche (x négatif), sa pente \(m = \Delta z / \Delta x\) est négative. (Ex: \(x\) passe de -5 à -6, \(\Delta x = -1\). \(z\) passe de 100 à 101, \(\Delta z = +1\). \(m = +1 / -1 = -1\)).
Points à retenir
- Le point de piquetage est l'intersection \(Talus \cap TN\).
- L'équation d'un talus se trouve avec sa pente (\(m = \pm 1/p\)) et son point de départ (le coin de la plateforme).
Le saviez-vous ?
Sur le terrain, ces points de piquetage (pieds et crêtes de talus) sont matérialisés par des piquets en bois peints (souvent en rouge pour le déblai, bleu pour le remblai) pour guider les conducteurs d'engins.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape :
Résultat Final
A vous de jouer
Si la pente de déblai était plus faible, \(p=2/1\) (donc \(m = -1/p = -0,5\)), quelle serait la nouvelle abscisse \(x\) de \(P_{\text{G}}\)?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q3 :
- Concept : Intersection \(Talus_{\text{Déblai}} \cap TN_{\text{Gauche}}\).
- Éq. Talus G : \(z = -x + 95\).
- Éq. TN [A-B] : \(z = -0,15x + 100,50\).
- Résultat : \(P_{\text{G}}(-6,47, 101,47)\).
Question 4 : Calculer les coordonnées du piquetage de remblai \(P_{\text{D}}\)
Principe
Le piquetage \(P_{\text{D}}\) (point Droit) est l'intersection du talus de remblai avec le terrain naturel. Puisque nous sommes à droite (\(x > 2\)), il s'agit bien d'un remblai. Le talus part du coin droit de la plateforme (\(x=5, z=100\)) et croise le segment de TN [B-C].
Mini-Cours
Un talus de remblai "descend" depuis la plateforme. La pente est \(p=2/1\). Pour un talus à droite (\(x\) augmente), l'altitude \(z\) doit diminuer. Une augmentation de \(x\) (\(\Delta x > 0\)) entraînant une diminution de \(z\) (\(\Delta z < 0\)), la pente mathématique \(m = \Delta z / \Delta x\) est négative.
Visualisation : si on avance de 2m ( \(\Delta x = +2\) ), on doit descendre de 1m ( \(\Delta z = -1\) ) pour suivre le talus. Donc \(m = \Delta z / \Delta x = -1 / +2 = -0,5\). Le calcul \(m = -1/p\) est correct.
Remarque Pédagogique
Notez la différence de pente (\(p=2/1\)) pour le remblai. Elle est plus "douce" (moins raide) que celle du déblai (\(p=1/1\)). C'est une pratique standard car un remblai (terre rapportée et compactée) est généralement moins stable qu'un déblai (sol en place) et nécessite une pente plus faible pour garantir sa stabilité.
Normes
Les pentes de talus (2/1, 3/2, 1/1) sont dictées par les guides techniques de terrassement (par exemple, le GTR en France) en fonction de la nature des sols et de la hauteur du talus pour éviter les glissements.
Formule(s)
Équation 1 : TN [B-C]
Depuis la Question 1 :
Équation 2 : Talus Remblai Droit
Point de départ \(P_{\text{plat}} = (5, 100)\). Pente \(p=2/1\) (donc \(m = -1/p = -1/2 = -0,5\)).
Équation (point-pente) : \( z - z_1 = m \cdot (x - x_1) \). On remplace par \(P_{\text{plat}}\) et \(m\).
On distribue -0,5 :
On passe -100 à droite :
Hypothèses
On suppose que le talus de remblai est une droite parfaite et que le TN est linéaire entre les points B et C.
Donnée(s)
Point plateforme droit \(P_{\text{plat}}(5, 100)\). Pente remblai \(p=2\) (donc \(m=-0,5\)). Équation TN [B-C] : \(z = -0,25x + 100,50\).
Astuces
Même méthode qu'à la Q3 : nous avons deux équations de droite (\(z_{\text{TN}}\) et \(z_{\text{Talus}}\)), nous les égalisons pour trouver \(x\), puis nous remplaçons \(x\) dans l'une des équations pour trouver \(z\).
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation du problème : la droite du TN [B-C] et la droite du talus partant de (5, 100) avec une pente de -0.5. On cherche \(P_{\text{D}}\).
Recherche du Piquetage Droit \(P_{\text{D}}\)
Calcul(s)
On cherche le point \( (x, z) \) où les deux droites se croisent, donc \( z_{\text{TN}} = z_{\text{Talus}} \).
Étape 1 : Intersection (Trouver \(x\))
On pose \( z_{\text{TN}} = z_{\text{Talus}} \) pour trouver le \(x\) commun.
On regroupe les 'x' à gauche et les constantes à droite :
On divise par 0,25 :
Étape 2 : Altitude (Trouver \(z\))
On remplace \(x=8,00\) dans l'équation du TN [B-C] (on pourrait aussi utiliser l'éq. du talus) :
Schéma (Après les calculs)
Le même schéma, mais avec le point \(P_{\text{D}}(8.00, 98.50)\) étiqueté. On vérifie la cohérence : x=8 est entre x=5 et x=10. Z=98.50 est sous la plateforme (100).
Résultat Piquetage Droit
Réflexions
Le point \(P_{\text{D}}(8,00, 98,50)\) est cohérent. Son abscisse \(x = 8,00\) m est bien à droite du coin de la plateforme (\(x = 5\) m). Son altitude \(z = 98,50\) m est bien en-dessous de la plateforme (\(z = 100\) m), ce qui confirme que c'est un remblai.
Points de vigilance
La pente \(p=2/1\) signifie \(m = \Delta z / \Delta x = 1/2\). Le talus de remblai descendant vers la droite a une pente \(m\) négative, \(m = -1/p = -0,5\). Une erreur fréquente est de confondre \(p\) et \(m\) ou de se tromper sur le signe.
Points à retenir
- La pente d'un talus de remblai \(p\) (ex: 2/1) n'est pas la pente mathématique \(m\) (ex: -0.5).
- Le signe de \(m\) dépend du sens (gauche/droit) et du type de talus (déblai/remblai).
Le saviez-vous ?
La pente des talus de remblai est cruciale. Une pente trop raide (ex: 1/1) sur un mauvais sol peut causer un "glissement de talus", un sinistre coûteux et dangereux qui nécessite de tout reconstruire.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape :
Résultat Final
A vous de jouer
Si la pente de remblai était de 3/2 (soit \(p=1,5\), donc \(m = -1/1,5 \approx -0,667\)), quelle serait la nouvelle abscisse \(x\) de \(P_{\text{D}}\)?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q4 :
- Concept : Intersection \(Talus_{\text{Remblai}} \cap TN_{\text{Droit}}\).
- Éq. Talus D : \(z = -0,5x + 102,5\).
- Éq. TN [B-C] : \(z = -0,25x + 100,50\).
- Résultat : \(P_{\text{D}}(8,00, 98,50)\).
Question 5 : Calculer les surfaces \(S_{\text{D}}\) (déblai) et \(S_{\text{R}}\) (remblai)
Principe
Maintenant que nous avons tous les sommets des polygones de déblai et de remblai, nous allons calculer leur aire. Nous utiliserons la "formule du géomètre" (ou méthode des lacets) qui est la plus rigoureuse. Cette méthode évite d'avoir à décomposer le polygone en multiples triangles et trapèzes, ce qui est une source d'erreur fréquente.
Mini-Cours
La formule du géomètre (ou 'Shoelace formula') permet de calculer l'aire d'un polygone quelconque à partir des coordonnées de ses sommets \((x_i, z_i)\), listés dans l'ordre (horaire ou anti-horaire). On "lacet" les coordonnées et on somme les produits croisés, puis on divise par 2.
Remarque Pédagogique
Il est crucial de bien identifier TOUS les sommets du polygone. Le déblai n'est pas un simple triangle ! Il est délimité par 4 points. Le polygone de déblai est DÉLIMITÉ PAR : le TN (segments \(P_{\text{G}}\)-B et B-\(P_{\text{T}}\)) et le PROJET (segments \(P_{\text{T}}\)-(-5,100) et le talus (-5,100)-\(P_{\text{G}}\)). Il faut suivre ce contour.
Normes
C'est la méthode de calcul de surface standard en topographie et en géométrie analytique, utilisée par tous les logiciels de DAO/SIG.
Formule(s)
Formule du Géomètre
Hypothèses
Les polygones de déblai et remblai sont fermés et définis par les sommets calculés. Les segments entre ces sommets sont des droites.
Donnée(s)
Polygone de Déblai (4 sommets) :
- \(P_1 = P_{\text{G}}(-6,47, 101,47)\)
- \(P_2 = B(0, 100,50)\) (le TN passe par B entre \(P_{\text{G}}\) et \(P_{\text{T}}\))
- \(P_3 = P_{\text{T}}(2, 100)\)
- \(P_4 = (-5, 100)\) (coin plateforme gauche)
Polygone de Remblai (3 sommets - un triangle) :
- \(P_1 = P_{\text{T}}(2, 100)\)
- \(P_2 = (5, 100)\) (coin plateforme droit)
- \(P_3 = P_{\text{D}}(8, 98,50)\)
Astuces
Pour un polygone simple comme le triangle de remblai, on peut aussi le décomposer. On peut calculer l'aire du trapèze formé par \(P_{\text{T}}\), (5, 100), \(P_{\text{D}}\) et un point (8, 100), puis soustraire le triangle du dessus. La formule du géomètre est cependant plus directe et moins sujette aux erreurs.
Schéma (Avant les calculs)
Un schéma montrant les deux polygones (déblai et remblai) avec tous leurs sommets étiquetés.
Polygones de Surface
Calcul(s)
Nous appliquons la formule
Étape 1 : Surface de Déblai \(S_{\text{D}}\)
Points (dans l'ordre anti-horaire) :
1: \(P_{\text{G}}(-6.47, 101.47)\)
2: \(B(0, 100.50)\)
3: \(P_{\text{T}}(2, 100)\)
4: \((-5, 100)\) (Coin plateforme gauche)
5: (retour au point 1 pour fermer)
La formule est :
On additionne les termes :
Étape 2 : Surface de Remblai \(S_{\text{R}}\)
Points (dans l'ordre anti-horaire) :
1: \(P_{\text{T}}(2, 100)\)
2: \((5, 100)\) (Coin plateforme droit)
3: \(P_{\text{D}}(8, 98.50)\)
4: (retour au point 1 pour fermer)
La formule est :
On additionne les termes :
Schéma (Après les calculs)
Le même schéma que ci-dessus, mais avec les valeurs des surfaces inscrites dans les polygones respectifs.
Résultat des Surfaces
Réflexions
La surface de déblai (\(S_{\text{D}} = 5,79 \text{ m}^2\)) est supérieure à celle du remblai (\(S_{\text{R}} = 2,25 \text{ m}^2\)). Ce profil est dit "excédentaire". Si tous les profils du projet sont similaires, il y aura un excédent de matériaux à évacuer en décharge.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier un sommet (comme le point B ou le point \(P_{\text{T}}\)) ou de mal lister les points. L'ordre (horaire ou anti-horaire) est important. Une autre erreur est de simplifier les polygones en triangles, ce qui est faux (surtout pour le déblai ici).
Points à retenir
- La formule du géomètre est un outil puissant pour toute surface polygonale.
- Il est essentiel d'identifier tous les sommets qui délimitent la surface : points de piquetage, points de passage, coins de plateforme, et points du TN intermédiaires.
Le saviez-vous ?
Dans un projet routier, on calcule le volume entre deux profils (distants de L) avec la formule des aires moyennes : \(V = ((S_1 + S_2) / 2) \cdot L\). L'objectif est d'avoir \(V_{\text{Déblai}} \approx V_{\text{Remblai}}\) sur l'ensemble du projet. On applique aussi un "coefficient de foisonnement" (ex: 1.2) au déblai, car 1 m³ de terre en place occupe plus de volume (ex: 1.2 m³) une fois excavé.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape :
Résultat Final
Surface de Remblai \(S_{\text{R}} = 2,25 \text{ m}^2\).
A vous de jouer
Si le profil P2, situé à 50m, a \(S_{\text{D}} = 10 \text{ m}^2\) et \(S_{\text{R}} = 4 \text{ m}^2\), quel est le volume de déblai \(V_{\text{D}}\) entre P1 et P2 (méthode des aires moyennes) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q5 :
- Concept : Calcul de surface par la formule du géomètre.
- Polygone Déblai : 4 points \(P_{\text{G}}\), B, \(P_{\text{T}}\), (-5, 100).
- Polygone Remblai : 3 points \(P_{\text{T}}\), (5, 100), \(P_{\text{D}}\).
- Résultat : \(S_{\text{D}} = 5,79 \text{ m}^2\), \(S_{\text{R}} = 2,25 \text{ m}^2\).
Outil Interactif : Simulateur de Profil
Utilisez les curseurs pour modifier l'altitude et la largeur de la plateforme et observez en temps réel l'impact sur les surfaces de déblai et de remblai (le terrain naturel reste fixe).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'est-ce qu'un "profil en travers" ?
2. Qu'est-ce qu'un "déblai" ?
3. Un talus de remblai avec une pente \(p=2/1\) signifie :
4. Le "point de passage" est l'intersection entre :
5. La "méthode des aires moyennes" pour le volume entre P1 et P2 est :
Glossaire
- Cubature
- Calcul des volumes, en particulier pour les mouvements de terres (déblais et remblais).
- Déblai
- Matériaux excavés (retirés) du terrain naturel pour amener le sol au niveau du projet.
- Piquetage
- Marquage sur le terrain des points clés du projet. En profil, ce sont les points d'intersection entre les talus du projet et le terrain naturel.
- Point de Passage
- Point où le projet (plateforme) croise le terrain naturel. Sépare la zone de déblai de la zone de remblai sur un même profil.
- Profil en travers
- Coupe verticale du terrain, perpendiculaire à l'axe du projet, montrant le terrain naturel et la plateforme finie.
- Remblai
- Matériaux d'apport (ajoutés) pour surélever le terrain naturel jusqu'au niveau du projet.
- Talus
- Surface inclinée de terre qui assure la transition entre la plateforme du projet et le terrain naturel.
- Terrain Naturel (TN)
- L'état et l'altitude du sol avant les travaux.
D’autres exercices de mouvements de terres:
0 commentaires