Calcul du Volume d'une Excavation Complexe

Contexte : Les Mouvements de TerresOpérations de terrassement consistant à déplacer des quantités de terre (déblais, remblais) pour modeler un terrain..

Le calcul précis des volumes de déblais est une étape fondamentale en terrassement. Il conditionne le coût du projet (coût d'excavation, de transport, de mise en décharge), la durée du chantier et la logistique (nombre de camions). Cet exercice se concentre sur une excavation de forme simple en plan (rectangulaire) mais complexe en volume, à cause de la présence de parois inclinées, appelées talusParoi de terre inclinée, naturelle ou artificielle, servant à assurer la stabilité des terres..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer une forme complexe (un tronc de pyramide rectangulaire) en surfaces élémentaires (fond, tête, mi-hauteur) pour appliquer une méthode de cubage précise comme la formule de Simpson.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et visualiser une excavation à talus à partir d'un plan.
Calculer les dimensions en tête d'excavation en fonction du fruit et de la profondeur.
Appliquer la formule de Simpson (ou des prismoïdes) pour un calcul de volume précis.
Saisir l'impact majeur des talus sur le volume total à excaver.

Données de l'étude

Nous devons calculer le volume de terre à extraire (déblais) pour la fondation d'un bâtiment. L'excavation est rectangulaire en fond de fouille et possède des talus uniformes sur les quatre côtés pour assurer la stabilité des terres.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Projet	Fondation Bâtiment B12
Type de Sol	Argile limoneuse (Talus 2H/1V)
Niveau Terrain Naturel (TN)	100.00 m NGF (considéré horizontal)

Plan et Coupe de l'Excavation

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur en fond de fouille	\(L\)	20.0	m
Largeur en fond de fouille	\(l\)	10.0	m
Profondeur moyenne	\(H\)	3.0	m
Fruit du talus (kH/1V)	\(k\)	2.0	sans unité

Questions à traiter

Calculer la largeur en tête d'excavation (\(l_t\)) et la longueur en tête d'excavation (\(L_t\)).
Calculer la surface en fond de fouille (\(S_f\)).
Calculer la surface en tête d'excavation (\(S_t\)).
Calculer la surface à mi-hauteur (\(S_m\)).
Estimer le volume total de déblais (\(V\)) en utilisant la formule de Simpson (ou des prismoïdes).

Les bases sur les Méthodes de Cubage

Le calcul du volume d'excavation (cubage) est essentiel. Pour des formes simples comme un cube (\(L \times l \times H\)), le calcul est direct. Mais lorsque les parois sont inclinées (talus), la forme devient un tronc de pyramideUn solide géométrique obtenu en coupant une pyramide par un plan parallèle à sa base.. On doit alors utiliser des méthodes d'approximation plus avancées.

1. Définition du Talus et du Fruit
Un talus est une paroi inclinée. Son inclinaison est définie par le 'fruit' (noté \(k\)), souvent exprimé en 'H pour V'. Un talus à 2/1 (donc \(k=2\)) signifie qu'on s'écarte de 2 mètres horizontalement pour chaque mètre descendu verticalement. L'écartement horizontal (\(e\)) créé par le talus est donc : \(e = k \times H\).

\[ \text{Largeur en tête} (l_t) = \text{Largeur en fond} (l) + 2 \times (k \times H) \]

2. Formule de Simpson pour les Volumes
Pour un volume de type prismoïde (comme notre excavation), la formule de Simpson offre une excellente précision. Elle utilise la surface en fond (\(S_f\)), la surface en tête (\(S_t\)), et crucialement, la surface à mi-hauteur (\(S_m\)).

\[ V = \frac{H}{6} \times (S_f + 4S_m + S_t) \]

Correction : Calcul du Volume d'une Excavation Complexe

Question 1 : Calculer la largeur en tête (\(l_t\)) et la longueur en tête (\(L_t\)).

Principe

Les parois de l'excavation sont inclinées vers l'extérieur. L'ouverture en haut (en tête, au niveau du Terrain Naturel) est donc plus large et plus longue que la base (en fond de fouille). L'écartement supplémentaire est proportionnel à la profondeur (H) et au fruit du talus (k).

Mini-Cours

Le 'fruit' \(k=2\) (2H/1V) signifie que pour une profondeur \(H=3.0\) m, l'écartement horizontal de *chaque* côté sera de \(e = k \times H = 2 \times 3.0 = 6.0\) m. Comme la forme est rectangulaire, il y a deux côtés talutés pour la largeur et deux pour la longueur. L'écartement total sur la largeur est donc \(2 \times e = 2 \times k \times H\).

Remarque Pédagogique

L'erreur classique est d'oublier qu'il y a un talus de *chaque côté*. On n'ajoute pas \(k \times H\) mais bien \(2 \times k \times H\) à la dimension en fond pour obtenir la dimension en tête.

Normes

Ce n'est pas une norme mais une convention de géomètre et de terrassement. Le fruit \(k=2\) est une valeur courante dictée par la géotechnique (étude des sols) pour assurer la stabilité à court terme d'un talus dans une argile limoneuse.

Formule(s)

Les formules pour les dimensions en tête sont :

Largeur en tête

l_t = l + 2 \times k \times H

Longueur en tête

L_t = L + 2 \times k \times H

Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :

Le Terrain Naturel (TN) est parfaitement horizontal.
Le fond de fouille est parfaitement horizontal.
Les talus sont uniformes sur les 4 côtés avec un fruit constant \(k=2\).

Donnée(s)

Nous extrayons les données nécessaires de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Largeur en fond	\(l\)	10.0	m
Longueur en fond	\(L\)	20.0	m
Profondeur	\(H\)	3.0	m
Fruit du talus	\(k\)	2.0	-

Astuces

Visualisez la coupe de l'excavation : c'est un trapèze. La petite base est \(l = 10\) m. La hauteur est \(H = 3\) m. De chaque côté, il y a un triangle rectangle de hauteur 3m et de base \(e = k \times H = 2 \times 3 = 6\) m. La grande base \(l_t\) est donc \(l + e + e = 10 + 6 + 6 = 22\) m.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma en coupe de l'énoncé illustre parfaitement le calcul à réaliser pour trouver \(l_t\).

Détail de la coupe (Largeur)

Calcul(s)

Nous allons décomposer le calcul pour chaque dimension, en substituant les valeurs de l'énoncé (\(l=10.0\), \(L=20.0\), \(k=2.0\), \(H=3.0\)).

Étape 1 : Calcul de la largeur en tête (\(l_t\))

On utilise la formule : \(l_t = l + 2 \times k \times H\)

\begin{aligned} l_t &= 10.0 \text{ m} + (2 \times 2.0 \times 3.0 \text{ m}) \\ &= 10.0 \text{ m} + (12.0 \text{ m}) \\ &= 22.0 \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la longueur en tête (\(L_t\))

On utilise la formule : \(L_t = L + 2 \times k \times H\)

\begin{aligned} L_t &= 20.0 \text{ m} + (2 \times 2.0 \times 3.0 \text{ m}) \\ &= 20.0 \text{ m} + (12.0 \text{ m}) \\ &= 32.0 \text{ m} \end{aligned}

L'écartement dû aux talus est de 12.0 m (calculé comme \(2 \times k \times H\)), qui s'ajoute à la fois à la longueur et à la largeur en fond.

Schéma (Après les calculs)

La vue en plan de l'excavation montre l'emprise au sol (en tête) comparée à l'emprise en fond.

Vue en Plan Côtée

Réflexions

Les dimensions en tête (32m x 22m) sont significativement plus grandes que celles en fond (20m x 10m). L'emprise au sol de l'excavation est bien plus importante que la simple fondation. Ignorer cela mènerait à une sous-estimation massive du volume de déblais.

Points de vigilance

Ne pas confondre le fruit (k=2, sans unité) et l'angle du talus. Un fruit de 2 (2H/1V) signifie qu'on s'écarte de 2m horizontalement pour 1m verticalement. L'angle par rapport à l'horizontale est \(\text{atan}(1/2) \approx 26.57^\circ\).

Points à retenir

La formule clé pour l'emprise d'un talus est :

Dimension en tête = Dimension en fond + 2 \(\times\) Fruit \(\times\) Profondeur.
\(D_t = D_f + 2kH\).

Le saviez-vous ?

Dans les grands projets routiers, ces calculs sont faits par des logiciels spécialisés (comme MENSURA ou AutoCAD Civil 3D) qui modélisent le terrain en 3D (Modèle Numérique de Terrain - MNT) et calculent le volume par différence entre le MNT projet et le MNT initial.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La largeur en tête \(l_t\) est de 22.0 m et la longueur en tête \(L_t\) est de 32.0 m.

A vous de jouer

Que deviendrait la largeur en tête (\(l_t\)) si le sol était de meilleure qualité et qu'on pouvait creuser avec un talus à 1/1 (soit \(k=1\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Emprise des talus.
Formule Essentielle : \(D_t = D_f + 2kH\).
Point de Vigilance Majeur : Ne pas oublier le facteur 2 (un talus de chaque côté).

Question 2 : Calculer la surface en fond de fouille (\(S_f\)).

Principe

Il s'agit de calculer la surface de la base de l'excavation. C'est le "plancher" de la fouille, la surface sur laquelle la fondation sera construite. C'est la plus petite surface de notre volume.

Mini-Cours

La surface en fond, \(S_f\), est la "petite base" de notre volume de type tronc de pyramide. Elle est définie par les dimensions données dans l'énoncé, qui sont les dimensions "utiles" pour le bâtiment. Le calcul est une simple multiplication de rectangle.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape la plus simple, mais elle est fondamentale pour la formule de Simpson. Toutes les autres surfaces (\(S_m\), \(S_t\)) sont calculées *à partir* de ces dimensions de base. Ne les confondez pas avec les dimensions en tête.

Normes

Aucune norme spécifique n'est requise ici. Il s'agit d'une application directe de la géométrie euclidienne de base (surface d'un rectangle).

Formule(s)

Surface d'un rectangle

S_f = L \times l

Hypothèses

L'hypothèse principale est que le fond de fouille est un rectangle parfait, avec des angles à 90 degrés.

Donnée(s)

Données de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur en fond	\(L\)	20.0	m
Largeur en fond	\(l\)	10.0	m

Astuces

Aucune astuce particulière pour ce calcul. C'est une simple multiplication. Vérifiez juste que vous utilisez bien les deux dimensions en fond (\(L\) et \(l\)).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma pertinent est le rectangle intérieur de la "Vue en Plan" de l'énoncé.

Surface en Fond (\(S_f\))

Calcul(s)

On applique la formule de la surface du rectangle en utilisant les dimensions en fond (\(L=20.0\) et \(l=10.0\)).

Calcul de \(S_f\)

\begin{aligned} S_f &= L \times l \\ &= 20.0 \text{ m} \times 10.0 \text{ m} \\ &= 200.0 \text{ m}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le calcul ne produit pas de nouveau schéma, le schéma ci-dessus est suffisant.

Réflexions

Cette surface de 200 m² est la seule surface "utile" pour la construction, mais elle génère une excavation bien plus grande en surface.

Points de vigilance

Ne pas utiliser les dimensions en tête (\(L_t\), \(l_t\)) par erreur. C'est une erreur fréquente lorsque l'on a déjà calculé Q1.

Points à retenir

\(S_f\) est la surface de base (fond de fouille), la "petite base" du volume.

Le saviez-vous ?

Cette surface est aussi appelée "l'emprise" de la fondation ou du radier. En topographie, on parle de "surface au projet".

FAQ

Voici une question fréquente sur cette étape.

Résultat Final

La surface en fond de fouille (\(S_f\)) est de 200.0 m².

A vous de jouer

Si la longueur \(L\) était de 30m, quelle serait la surface \(S_f\)? (Simple multiplication)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Surface de base (fond).
Formule : \(S_f = L \times l\).

Question 3 : Calculer la surface en tête d'excavation (\(S_t\)).

Principe

Il s'agit de calculer la surface de l'ouverture de l'excavation au niveau du Terrain Naturel (TN). On utilise les dimensions \(L_t\) et \(l_t\) calculées à la Question 1.

Mini-Cours

\(S_t\) est la "grande base" de notre tronc de pyramide. Elle représente l'emprise totale du terrassement au niveau du sol initial, c'est-à-dire la surface de terrain qui sera affectée par les travaux de creusement.

Remarque Pédagogique

Cette surface est cruciale car elle définit la zone de travail, la zone à décaper (retirer la terre végétale avant de creuser) et l'emprise foncière du chantier. Une grande différence entre \(S_t\) et \(S_f\) signifie que les talus "mangent" beaucoup de terrain.

Normes

Aucune norme spécifique, il s'agit d'une application de la géométrie euclidienne de base.

Formule(s)

Surface en tête

S_t = L_t \times l_t

Hypothèses

Les dimensions en tête \(L_t\) et \(l_t\) calculées à la Question 1 sont correctes et le TN est horizontal.

Donnée(s)

Résultats de la Question 1 :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur en tête	\(L_t\)	32.0	m
Largeur en tête	\(l_t\)	22.0	m

Astuces

C'est un calcul direct. C'est simplement le produit des deux résultats (longueur et largeur) que vous avez trouvés à la Question 1.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma pertinent est le rectangle extérieur de la "Vue en Plan" de l'énoncé, que nous avons coté dans la Q1.

Surface en Tête (\(S_t\))

Calcul(s)

On applique la formule de la surface du rectangle en utilisant les dimensions en tête (\(L_t=32.0\) et \(l_t=22.0\)) calculées à la Question 1.

Calcul de \(S_t\)

\begin{aligned} S_t &= L_t \times l_t \\ &= 32.0 \text{ m} \times 22.0 \text{ m} \\ &= 704.0 \text{ m}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le calcul ne produit pas de nouveau schéma, le schéma ci-dessus est suffisant.

Réflexions

La surface en tête (704.0 m²) est 3.52 fois plus grande que la surface en fond (200.0 m²). C'est l'impact considérable du talus à 2/1 sur 3m de profondeur.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser \(L_t\) et \(l_t\), et non \(L\) et \(l\). Le volume de déblais est souvent bien supérieur à ce que l'on imagine en ne regardant que le plan de la fondation.

Points à retenir

\(S_t\) est la surface au niveau du TN, la "grande base" du volume.
Elle est calculée à partir des dimensions en tête : \(S_t = (L+2kH) \times (l+2kH)\).

Le saviez-vous ?

La différence entre \(S_t\) et \(S_f\) (704 - 200 = 504 m²) représente la surface horizontale "perdue" ou "consommée" par les talus. C'est une surface qui ne peut pas être utilisée pour autre chose et qui doit être prise en compte dans l'emprise du chantier.

FAQ

Voici une question fréquente sur cette étape.

Résultat Final

La surface en tête d'excavation (\(S_t\)) est de 704.0 m².

A vous de jouer

Si le fruit était \(k=3\) (sol très mauvais), que deviendrait la surface en tête \(S_t\)? (Recalculez \(L_t\) et \(l_t\) d'abord).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Surface d'ouverture (emprise TN).
Formule : \(S_t = L_t \times l_t\).

Question 4 : Calculer la surface à mi-hauteur (\(S_m\)).

Principe

Pour utiliser la formule de Simpson, qui est très précise, nous avons besoin de connaître la surface de la section transversale à mi-profondeur, c'est-à-dire à une profondeur de \(H' = H/2\).

Mini-Cours

La logique est exactement la même que pour le calcul de \(S_t\) à la Question 1, mais au lieu de considérer la profondeur totale \(H=3.0\), on considère la mi-profondeur \(H' = 3.0 / 2 = 1.5\) m. On calcule donc les dimensions à mi-hauteur, \(L_m\) et \(l_m\), puis on les multiplie.

Remarque Pédagogique

Point crucial : La surface à mi-hauteur \(S_m\) n'est PAS la moyenne de \(S_f\) et \(S_t\). Si on calcule \((S_f + S_t)/2 = (200+704)/2 = 452\) m², on obtient un résultat différent (et incorrect pour la formule de Simpson). C'est une erreur classique.

Normes

Il ne s'agit pas d'une norme, mais d'une étape de calcul nécessaire à l'application de la méthode d'intégration de Simpson (méthode des prismoïdes).

Formule(s)

Profondeur H'

\[ H' = H / 2 \]

Dimensions à mi-hauteur

l_m = l + 2 \times k \times H' \quad | \quad L_m = L + 2 \times k \times H'

Surface à mi-hauteur

S_m = L_m \times l_m

Hypothèses

Les talus sont des plans parfaits (pente constante), ce qui signifie que les dimensions de la section varient linéairement avec la profondeur.

Donnée(s)

Données de base :

Paramètre	Symbole	Valeur
\(L\)	20.0	m
\(l\)	10.0	m
\(H\)	3.0	m
\(k\)	2.0	-

Astuces

Puisque les dimensions varient linéairement avec la profondeur, les dimensions à mi-hauteur sont exactement à la moyenne des dimensions en fond et en tête.
Vérification : \(l_m = (l + l_t) / 2 = (10+22)/2 = 16\) m.
\(L_m = (L + L_t) / 2 = (20+32)/2 = 26\) m.
C'est plus rapide si vous avez déjà calculé Q1 !

Schéma (Avant les calculs)

On imagine une "tranche" horizontale coupée au milieu de la profondeur H=3.0m, donc à 1.5m du fond (ou 1.5m du haut).

Les 3 Surfaces de Calcul

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la mi-profondeur (\(H'\))

On prend la moitié de la profondeur totale \(H=3.0\).

H' = \frac{H}{2} = \frac{3.0 \text{ m}}{2} = 1.5 \text{ m}

Étape 2 : Calcul des dimensions à mi-hauteur (\(l_m\) et \(L_m\))

On utilise les mêmes formules qu'à la Q1, mais avec \(H'\) au lieu de \(H\).

\begin{aligned} l_m &= l + (2 \times k \times H') \\ &= 10.0 \text{ m} + (2 \times 2.0 \times 1.5 \text{ m}) \\ &= 10.0 \text{ m} + 6.0 \text{ m} \\ &= 16.0 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned} L_m &= L + (2 \times k \times H') \\ &= 20.0 \text{ m} + (2 \times 2.0 \times 1.5 \text{ m}) \\ &= 20.0 \text{ m} + 6.0 \text{ m} \\ &= 26.0 \text{ m} \end{aligned}

Étape 3 : Calcul de la surface à mi-hauteur (\(S_m\))

On multiplie les dimensions à mi-hauteur trouvées.

\begin{aligned} S_m &= L_m \times l_m \\ &= 26.0 \text{ m} \times 16.0 \text{ m} \\ &= 416.0 \text{ m}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma supplémentaire nécessaire, le schéma des 3 surfaces ci-dessus est le plus pertinent.

Réflexions

Comme vérifié dans l'astuce, la surface \(S_m = 416\) m² n'est PAS la moyenne de \(S_f\) et \(S_t\) (qui est 452 m²). Cette différence est la raison pour laquelle la formule de Simpson est nécessaire et plus précise que la formule de la moyenne des bases.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de calculer \(S_m = (S_f + S_t) / 2\). Ne faites pas cela. Calculez toujours les dimensions à mi-hauteur (\(L_m, l_m\)) d'abord, puis calculez la surface \(S_m\).

Points à retenir

Calculer \(H' = H/2\).
Calculer \(L_m = L + 2kH'\) et \(l_m = l + 2kH'\). (Astuce: \(L_m = (L+L_t)/2\)).
Calculer \(S_m = L_m \times l_m\).

Le saviez-vous ?

Cette méthode est une application directe de l'intégration numérique (méthode de Simpson) pour trouver l'aire sous une courbe, adaptée ici pour un volume où la surface de la section varie (ici, quadratiquement) avec la hauteur.

FAQ

Voici une question fréquente sur cette étape.

Résultat Final

La surface à mi-hauteur (\(S_m\)) est de 416.0 m².

A vous de jouer

Juste pour vérifier, quelle est la moyenne de \(S_f\) et \(S_t\) ? (Vous verrez que ce n'est pas 416).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Surface à mi-hauteur.
Piège à éviter : \(S_m \neq (S_f + S_t) / 2\).
Formule (Astuce) : \(S_m = \frac{L+L_t}{2} \times \frac{l+l_t}{2}\).

Question 5 : Estimer le volume total de déblais (\(V\)) avec la formule de Simpson.

Principe

Maintenant que nous avons les trois surfaces clés (\(S_f\), \(S_m\), \(S_t\)) et la hauteur totale (\(H\)), nous pouvons assembler le tout en utilisant la formule de Simpson pour obtenir le volume total de l'excavation.

Mini-Cours

La formule de Simpson, \(V = H/6 \times (S_f + 4S_m + S_t)\), est la méthode la plus précise pour ce type de volume (prismoïde). Elle donne un poids plus important (facteur 4) à la surface à mi-hauteur, ce qui la rend plus précise que la simple moyenne des bases.

Remarque Pédagogique

Comparez le résultat que vous allez obtenir (1284 m³) avec un calcul naïf (\(V = S_f \times H = 200 \times 3 = 600\) m³) ou un calcul par moyenne des bases (\(V = H \times (S_f+S_t)/2 = 3 \times (200+704)/2 = 1356\) m³). Vous comprendrez pourquoi une bonne estimation est cruciale pour le budget du chantier !

Normes

C'est la méthode de référence (méthode des prismoïdes) pour le calcul des cubatures dans les marchés publics de terrassement lorsqu'une haute précision est requise, notamment pour les profils en travers routiers.

Formule(s)

Formule de Simpson (ou des Prismoïdes)

V = \frac{H}{6} \times (S_f + 4S_m + S_t)

Hypothèses

Les surfaces calculées précédemment sont correctes et le terrain est homogène entre les surfaces (pas de "bosse" ou de "creux" imprévu).

Donnée(s)

Données calculées :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Profondeur	\(H\)	3.0	m
Surface en fond	\(S_f\)	200.0	m²
Surface à mi-hauteur	\(S_m\)	416.0	m²
Surface en tête	\(S_t\)	704.0	m²

Astuces

Calculez d'abord le terme entre parenthèses (\(S_f + 4S_m + S_t\)), puis multipliez par \(H\) et divisez par 6 (ou multipliez par \(H/6 = 3/6 = 0.5\)). Cela évite les erreurs d'arrondi.

Schéma (Avant les calculs)

Le volume entier est la somme de toutes les "tranches" de l'excavation, de \(S_f\) à \(S_t\), pondérées par la formule.

Volume du Prismoïde

Calcul(s)

Nous assemblons toutes les valeurs calculées (\(H=3.0\), \(S_f=200.0\), \(S_m=416.0\), \(S_t=704.0\)) dans la formule de Simpson.

Étape 1 : Calcul du terme pondéré des surfaces

On calcule d'abord le terme entre parenthèses : \(S_f + 4S_m + S_t\)

\begin{aligned} \text{Terme} &= S_f + (4 \times S_m) + S_t \\ &= 200.0 \text{ m}^2 + (4 \times 416.0 \text{ m}^2) + 704.0 \text{ m}^2 \\ &= 200.0 \text{ m}^2 + 1664.0 \text{ m}^2 + 704.0 \text{ m}^2 \\ &= 2568.0 \text{ m}^2 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du volume total (\(V\))

On multiplie le terme précédent par \(H/6\).

\begin{aligned} V &= \frac{H}{6} \times (S_f + 4S_m + S_t) \\ &= \frac{3.0 \text{ m}}{6} \times (2568.0 \text{ m}^2) \\ &= 0.5 \text{ m} \times 2568.0 \text{ m}^2 \\ &= 1284.0 \text{ m}^3 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma supplémentaire nécessaire. Le résultat est une valeur numérique (volume).

Réflexions

Le volume total de déblais est de 1284.0 m³. Comparons :

Calcul naïf (sans talus) : \(V = S_f \times H = 200 \times 3 = 600\) m³ (Erreur de -53%).
Calcul par moyenne des bases : \(V = H \times (S_f + S_t)/2 = 3 \times (200+704)/2 = 1356\) m³ (Erreur de +5.6%).

La formule de Simpson est la plus précise et est la référence. L'erreur de la moyenne des bases (5.6%) est parfois acceptable pour une pré-estimation, mais la formule de Simpson est géométriquement exacte pour ce solide.

Points de vigilance

L'erreur principale est d'oublier le facteur 4 devant le \(S_m\). C'est le cœur de la méthode de Simpson. Si vous l'oubliez, vous calculez \(V = H/6 (S_f+S_m+S_t)\) ce qui est incorrect. N'oubliez pas non plus le \(H/6\) (et non \(H/3\) ou \(H/2\)).

Points à retenir

La formule de Simpson est \(V = H/6 \times (S_f + 4S_m + S_t)\).
Elle est exacte pour les prismoïdes (solides à faces planes et bases parallèles).
Elle est plus précise que la formule de la moyenne des bases.

Le saviez-vous ?

Le volume de terre excavé (1284.0 m³ "en place") va "foisonner" une fois sorti de terre. L'argile a un coefficient de foisonnement d'environ 1.30. Le volume à transporter sera donc de \(1284 \times 1.30 \approx 1669\) m³. C'est ce dernier volume qu'il faut utiliser pour commander les camions !

FAQ

Voici une question fréquente sur cette étape.

Résultat Final

Le volume total de déblais (en place) est de 1284.0 m³.

A vous de jouer

Juste pour comparer, quel serait le volume si on avait utilisé la (moins précise) formule de la moyenne des bases \(V = H \times (S_f + S_t)/2\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Cubage par formule de Simpson.
Formule : \(V = H/6 \times (S_f + 4S_m + S_t)\).
Résultat : 1284.0 m³.

Outil Interactif : Simulateur de Cubage

Utilisez cet outil pour voir comment la Profondeur (H) et le Fruit du talus (k) impactent le volume total. Les dimensions en fond sont fixes (\(L=20, l=10\)).

Paramètres d'Entrée

Profondeur (H) (m) 3 m

Fruit du Talus (k) (H/V) 2.0 H/V

Résultats Clés

Surface en Tête (\(S_t\)) (m²) -

Volume Total (\(V\)) (m³) -

Glossaire

Cubage: Terme de chantier désignant le calcul des volumes de terres (déblais ou remblais) à déplacer.
Déblais: Volume de terre que l'on enlève du terrain naturel pour créer une excavation (un "trou").
Remblais: Volume de terre que l'on ajoute sur le terrain naturel pour créer une plateforme ou un remblai routier.
Foisonnement: Augmentation du volume des terres lorsqu'elles sont excavées, due à la décompression et à l'entrée d'air. Un m³ en place peut devenir 1.3 m³ foisonné.
Fruit (k): Rapport de la projection horizontale sur la projection verticale de la ligne de pente d'un talus (ex: 2H/1V signifie \(k=2\)).
Formule de Simpson: Méthode de calcul de volume par intégration numérique, très précise pour les prismoïdes, en utilisant les surfaces aux extrémités et à mi-hauteur.
Prismoïde: Un solide dont les bases (supérieure et inférieure) sont des polygones situés dans des plans parallèles, et les faces latérales sont des plans.

Calcul du Volume d’une Excavation Complexe

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Plan et Coupe de l'Excavation

Questions à traiter

Les bases sur les Méthodes de Cubage

Correction : Calcul du Volume d'une Excavation Complexe

Question 1 : Calculer la largeur en tête (\(l_t\)) et la longueur en tête (\(L_t\)).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Détail de la coupe (Largeur)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Vue en Plan Côtée

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Calculer la surface en fond de fouille (\(S_f\)).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Surface en Fond (\(S_f\))

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Calculer la surface en tête d'excavation (\(S_t\)).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Surface en Tête (\(S_t\))

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Calculer la surface à mi-hauteur (\(S_m\)).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)