Analyse des Contraintes d'un Mur de Soutènement en Milieu Urbain
Contexte : Le calcul de soutènementLe dimensionnement d'une structure (mur, paroi) destinée à retenir une masse de terre et à prévenir son éboulement. en phase provisoire.
Dans le cadre d'un projet de construction d'un immeuble en centre-ville, une excavation de 6 mètres de profondeur est nécessaire pour réaliser les sous-sols. Le chantier est adjacent à des bâtiments existants, ce qui impose des contraintes fortes sur la stabilité des terres. Il est donc crucial de dimensionner un soutènement provisoire, ici une paroi berlinoiseTechnique de soutènement provisoire constituée de profilés métalliques verticaux entre lesquels sont placées des planches en bois ou des plaques de béton., pour garantir la sécurité du site et des avoisinants.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans l'application des principes de la mécanique des sols (théorie de Rankine) pour un cas pratique d'ingénierie géotechnique, en prenant en compte les spécificités d'un environnement urbain dense.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la poussée des terres sur un mur de soutènement selon la théorie de Rankine.
- Intégrer l'impact des surcharges urbaines (charges d'exploitation) dans le calcul.
- Déterminer la force de poussée totale et son point d'application pour le dimensionnement.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Type de soutènement | Paroi berlinoise |
| Profondeur d'excavation (H) | 6,0 m |
| Présence de nappe phréatique | Négligée pour cette étude |
Schéma de la situation
| Paramètre Géotechnique | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Poids volumique total du sol | \( \gamma \) | 18 | kN/m³ |
| Angle de frottement interne | \( \phi' \) | 30 | ° |
| Cohésion effective | \( c' \) | 0 | kPa |
| Surcharge d'exploitation | \( q \) | 15 | kPa |
Questions à traiter
- Calculer le coefficient de poussée active des terres (\(K_a\)) selon la théorie de Rankine.
- Déterminer la distribution des contraintes de poussée active dues au poids des terres sur la hauteur du mur. Quelle est la valeur maximale en base ?
- Calculer la contrainte de poussée constante due à la surcharge d'exploitation.
- Calculer la résultante de la force de poussée totale (\(F_a\)) par mètre linéaire de mur.
- Déterminer la hauteur d'application (\(z_a\)) de cette force résultante par rapport à la base de l'excavation.
Les bases sur la Poussée des Terres
Lorsqu'on réalise une excavation, le sol retenu exerce une pression latérale sur la structure de soutènement. En l'absence de déplacement, cette pression est dite "au repos". Si le mur peut se déplacer légèrement vers l'extérieur, le sol se décomprime et la pression diminue jusqu'à atteindre une valeur minimale : la poussée active.
1. Poussée active selon Rankine (sol sans cohésion)
Pour un sol pulvérulent (sable, gravier, c'=0) et une surface horizontale, la contrainte de poussée active \( \sigma_a \) à une profondeur \( z \) est donnée par :
\[ \sigma_a(z) = K_a \cdot \gamma \cdot z \]
Où \( K_a \) est le coefficient de poussée active, \( \gamma \) le poids volumique du sol.
2. Effet d'une surcharge uniforme
Une surcharge uniforme \( q \) (en kPa) appliquée sur la surface du sol se traduit par une augmentation constante de la contrainte de poussée sur toute la hauteur du mur. Cette contrainte additionnelle \( \Delta\sigma_a \) est :
\[ \Delta\sigma_a = K_a \cdot q \]
Correction : Analyse des Contraintes d'un Mur de Soutènement
Question 1 : Calculer le coefficient de poussée active des terres (\(K_a\))
Principe
Le coefficient \(K_a\) représente le rapport entre la contrainte horizontale effective et la contrainte verticale effective lorsque le sol est en état de rupture active. Il traduit la proportion de la contrainte verticale (due au poids des terres) qui se transforme en poussée horizontale sur le mur. Il dépend uniquement des caractéristiques de frottement du sol.
Mini-Cours
La théorie de Rankine (1857) décrit l'état des contraintes dans une masse de sol en équilibre limite plastique. Pour l'état actif, on suppose que le mur de soutènement s'éloigne légèrement du sol, permettant au sol de se décomprimer et de mobiliser sa résistance au cisaillement. Ce déplacement, même minime, suffit à faire chuter la poussée de sa valeur "au repos" à sa valeur "active", qui est la plus faible possible.
Remarque Pédagogique
Visualisez un tas de sable sec. Si vous essayez de creuser une paroi verticale, le sable s'éboule selon un angle naturel, l'angle de talus naturel. La poussée active est directement liée à cet angle. Un sol avec un grand angle de frottement (comme du gravier anguleux) se "tient" mieux et pousse moins fort sur un mur qu'un sable fin et arrondi.
Normes
Le calcul des soutènements en Europe est principalement régi par l'Eurocode 7 (EN 1997) - Calcul géotechnique. Cette norme définit les approches de calcul, les coefficients de sécurité et les méthodes à utiliser pour justifier la stabilité des ouvrages géotechniques.
Formule(s)
Coefficient de poussée active (Rankine)
Hypothèses
L'application de cette formule repose sur plusieurs hypothèses simplificatrices :
- Le massif de sol est semi-infini et homogène.
- La surface du terrain est horizontale.
- Le mur est vertical et parfaitement lisse (pas de frottement entre le sol et le mur).
- Le sol est en état de rupture (équilibre limite actif atteint).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Angle de frottement interne | \( \phi' \) | 30 | ° |
Astuces
Pour mémoriser la formule, rappelez-vous que pour la poussée active, le sol "pousse moins", donc le coefficient \(K_a\) est toujours inférieur à 1. La formule utilise \((45^\circ - \phi'/2)\). Pour la butée (résistance du sol), ce sera \((45^\circ + \phi'/2)\), donnant un coefficient \(K_p\) supérieur à 1.
Schéma (Avant les calculs)
Cercle de Mohr à la Rupture Active
Calcul(s)
Calcul du coefficient de poussée active \(K_a\)
Schéma (Après les calculs)
Rapport des Contraintes
Réflexions
Un \(K_a\) de 1/3 signifie que la contrainte horizontale active ne représente qu'un tiers de la contrainte verticale. C'est une réduction significative par rapport à l'état de repos, où le coefficient \(K_0\) est souvent estimé à \(1-\sin(\phi')\), soit 0.5 pour ce sol.
Points de vigilance
Attention à bien utiliser l'angle de frottement en degrés dans la formule. Une erreur courante est de mal configurer sa calculatrice (radians vs degrés). Vérifiez toujours que le résultat est plausible : \(K_a\) doit être inférieur à 1.
Points à retenir
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : Le coefficient \(K_a\) quantifie la réduction de la poussée horizontale lorsque le sol peut se déformer.
- Formule Essentielle : \( K_a = \tan^2(45^\circ - \phi'/2) \).
- Point de Vigilance Majeur : La formule est valide pour un sol pulvérulent, un terrain horizontal et un mur lisse.
Le saviez-vous ?
William Rankine, ingénieur et physicien écossais, a développé sa théorie sur la poussée des terres en 1857. Contrairement à l'approche de Coulomb (1776) qui étudie l'équilibre d'un "coin" de sol, l'approche de Rankine analyse l'état de contrainte dans toute la masse de sol.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Recalculez \(K_a\) pour un sol plus lâche avec un angle de frottement \(\phi'\) de 25°.
Question 2 : Distribution et valeur maximale des contraintes dues au sol
Principe
La pression exercée par le sol lui-même augmente linéairement avec la profondeur, tout comme la pression de l'eau dans une piscine. Elle est nulle en surface (z=0) où il n'y a pas de sol au-dessus, et maximale à la base de l'excavation (z=H) où le poids de toute la colonne de sol s'applique.
Mini-Cours
La contrainte verticale totale à une profondeur \(z\) est \(\sigma_v(z) = \gamma \cdot z\). En multipliant par le coefficient de poussée active \(K_a\), on obtient la contrainte horizontale \(\sigma_a(z)\). Le diagramme des contraintes est donc triangulaire, car la contrainte est directement proportionnelle à la profondeur \(z\).
Remarque Pédagogique
Cette distribution triangulaire est fondamentale en géotechnique. Imaginez empiler des livres : le livre tout en bas subit le poids de tous les autres. C'est la même chose pour le sol. La poussée en bas du mur est donc toujours la plus critique.
Normes
L'Eurocode 7 spécifie que cette distribution de pression doit être utilisée pour calculer les efforts (moment fléchissant, effort tranchant) dans le mur de soutènement. Les calculs de dimensionnement de la paroi elle-même découleront de ce diagramme.
Formule(s)
Contrainte de poussée du sol
Hypothèses
On conserve les hypothèses de Rankine, et on suppose en plus que le poids volumique \(\gamma\) du sol est constant sur toute la hauteur.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coefficient de poussée active | \( K_a \) | 1/3 | - |
| Poids volumique du sol | \( \gamma \) | 18 | kN/m³ |
| Hauteur d'excavation | \( H \) | 6 | m |
Astuces
Pour vérifier l'ordre de grandeur, la contrainte verticale à la base est \(\gamma \cdot H = 18 \times 6 = 108\) kPa. La contrainte horizontale sera forcément plus faible. Avec \(K_a = 1/3\), on s'attend à un résultat autour de \(108/3 \approx 36\) kPa. Cela permet de détecter rapidement une erreur de calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Distribution Linéaire des Contraintes
Calcul(s)
Calcul de la contrainte maximale à la base
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Poussée du Sol
Réflexions
La contrainte de 36 kPa à 6m de profondeur peut sembler faible, mais elle s'applique sur toute la longueur du mur. C'est cette pression qui, intégrée sur la surface du mur, va générer une force considérable que la structure doit pouvoir reprendre.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente ici est une incohérence d'unités. Assurez-vous que le poids volumique est en kN/m³, la hauteur en m, pour obtenir une contrainte en kN/m², c'est-à-dire en kPa. Ne mélangez pas des N et des kN.
Points à retenir
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : La poussée des terres (sans surcharge) a une distribution triangulaire, nulle en surface et maximale en base.
- Formule Essentielle : \(\sigma_{a, \text{sol}}(H) = K_a \cdot \gamma \cdot H\).
- Point de Vigilance Majeur : La distribution est linéaire uniquement si \(\gamma\) est constant.
Le saviez-vous ?
En présence de plusieurs couches de sol avec des poids volumiques et des angles de frottement différents, le diagramme de poussée n'est plus un simple triangle, mais une succession de segments de droite avec des pentes différentes à l'interface de chaque couche.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la contrainte maximale à la base si l'excavation était de 8 m de profondeur ?
Question 3 : Contrainte constante due à la surcharge
Principe
Une surcharge uniforme \(q\) appliquée en surface est équivalente à une hauteur de sol supplémentaire. Cette charge se propage dans le sol et génère une pression horizontale constante sur toute la hauteur du mur. Contrairement au poids du sol, son effet ne dépend pas de la profondeur.
Mini-Cours
Selon la théorie de l'élasticité (Boussinesq), une charge en surface se diffuse dans le sol. Pour une charge uniforme et infinie, la contrainte verticale additionnelle est constante avec la profondeur (\(\Delta\sigma_v = q\)). En appliquant le coefficient de poussée active \(K_a\), on obtient la contrainte horizontale additionnelle \(\Delta\sigma_a = K_a \cdot q\), qui est elle aussi constante.
Remarque Pédagogique
Imaginez que vous appuyez avec une grande planche sur le sable à côté du mur. La pression que vous appliquez se transmet horizontalement au mur, et ce, de manière quasi-identique que vous soyez près de la surface ou plus en profondeur.
Normes
L'Eurocode 7 impose de prendre en compte toutes les surcharges prévisibles à proximité de l'ouvrage (trafic, constructions, stockage...). La valeur de 15 kPa est une valeur courante pour une surcharge de type trafic routier et piéton en ville.
Formule(s)
Contrainte due à la surcharge
Hypothèses
On suppose que la surcharge est uniforme, de largeur infinie et appliquée directement en tête de mur.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coefficient de poussée active | \( K_a \) | 1/3 | - |
| Surcharge d'exploitation | \( q \) | 15 | kPa |
Astuces
Le calcul est direct. Assurez-vous simplement que la surcharge \(q\) est bien en kPa (ou kN/m²) pour obtenir un résultat de contrainte dans la même unité.
Schéma (Avant les calculs)
Distribution Rectangulaire des Contraintes
Calcul(s)
Calcul de la contrainte due à la surcharge
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Poussée de la Surcharge
Réflexions
Cette contrainte de 5 kPa s'ajoute au diagramme triangulaire du sol. Le diagramme total des contraintes sera donc un trapèze, avec une valeur de 5 kPa en tête et 36 + 5 = 41 kPa en base.
Points de vigilance
Ne pas oublier cette composante de poussée est crucial en milieu urbain. Omettre la surcharge conduirait à un sous-dimensionnement dangereux de l'ouvrage de soutènement.
Points à retenir
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : Une surcharge uniforme en surface crée une poussée horizontale constante sur toute la hauteur du mur.
- Formule Essentielle : \(\Delta\sigma_a = K_a \cdot q\).
- Point de Vigilance Majeur : L'hypothèse de surcharge "infinie" est une simplification conservative.
Le saviez-vous ?
Pour des charges non uniformes ou localisées (comme la fondation d'un bâtiment voisin), on utilise des méthodes plus complexes comme l'abaque de Boussinesq pour estimer la distribution des contraintes horizontales, qui ne sera alors plus rectangulaire.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la contrainte de surcharge si elle était de 30 kPa ?
Question 4 : Calcul de la force de poussée totale (\(F_a\))
Principe
La force de poussée totale (ou résultante) est l'effort global que le mur doit reprendre. On l'obtient en "intégrant" les contraintes sur toute la hauteur du mur. Géométriquement, cela revient simplement à calculer l'aire du diagramme des contraintes totales.
Mini-Cours
Puisque le diagramme des contraintes totales est un trapèze (la somme du rectangle de la surcharge et du triangle du sol), sa surface peut être calculée comme la somme des surfaces de ces deux formes géométriques simples. La force est exprimée en kN par mètre linéaire (kN/ml), car on raisonne sur une "tranche" de 1m de large de mur.
Remarque Pédagogique
C'est l'étape où l'on passe des "pressions" (en kPa, une force par m²) à une "force" (en kN). Cette force est celle qui va servir à dimensionner les éléments structuraux, comme les tirants d'ancrage ou les butons qui retiennent la paroi.
Normes
L'Eurocode 7 demande de calculer cette force à l'état limite ultime (ELU) en appliquant des coefficients de sécurité sur les charges (surcharge, poids du sol) et/ou sur les paramètres du sol (\( \tan(\phi') \), \(c'\)). Pour cet exercice, nous restons à l'état de service (sans coefficients de sécurité).
Formule(s)
Force totale
Force due au sol (aire du triangle)
Force due à la surcharge (aire du rectangle)
Hypothèses
Les hypothèses sont celles des questions précédentes. On calcule la force par mètre linéaire de mur.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Contrainte max. du sol | \( \sigma_{a, \text{sol}}(H) \) | 36 | kPa |
| Contrainte de la surcharge | \( \Delta\sigma_a \) | 5 | kPa |
| Hauteur d'excavation | \( H \) | 6 | m |
Astuces
On peut aussi calculer directement l'aire du trapèze total. La contrainte en tête est \(\sigma_{\text{tête}} = 5 \text{ kPa}\), et en base \(\sigma_{\text{base}} = 36 + 5 = 41 \text{ kPa}\). L'aire d'un trapèze est \(((\text{petite base} + \text{grande base}) / 2) \times \text{hauteur}\). Soit \(((5 + 41) / 2) \times 6 = (46/2) \times 6 = 23 \times 6 = 138 \text{ kN/ml}\). On retrouve le même résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul de l'Aire du Diagramme Total
Calcul(s)
Force de poussée due au sol (\(F_{a, \text{sol}}\))
Force de poussée due à la surcharge (\(F_{a, \text{surcharge}}\))
Force de poussée totale (\(F_a\))
Schéma (Après les calculs)
Résultante de Poussée Totale
Réflexions
Une force de 138 kN/ml équivaut à environ 14 tonnes par mètre de mur. Pour un mur de 20 mètres de long, la force totale à retenir serait de 280 tonnes. Cela illustre bien l'ampleur des efforts en jeu dans les travaux de terrassement.
Points de vigilance
Assurez-vous de bien additionner toutes les composantes de la force. S'il y avait plusieurs couches de sol ou la présence d'eau, il y aurait davantage de diagrammes (et donc de forces) à additionner.
Points à retenir
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : La force de poussée est l'aire du diagramme des contraintes.
- Formule Essentielle : Additionner les aires des formes géométriques simples (triangle, rectangle).
- Point de Vigilance Majeur : L'unité de la force est en force par unité de longueur (kN/ml).
Le saviez-vous ?
Dans le cas de fouilles complexes ou d'ouvrages définitifs, les ingénieurs utilisent des logiciels de calcul par éléments finis (comme Plaxis) qui modélisent le comportement du sol de manière beaucoup plus fine, en tenant compte des interactions sol-structure et du phasage des travaux.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Avec les données initiales, mais une surcharge de 30 kPa, quelle serait la force totale \(F_a\) ? (Rappel: \(F_{a,\text{surcharge}}\) sera différent).
Question 5 : Déterminer la hauteur d'application (\(z_a\))
Principe
Le point d'application de la force totale n'est pas simplement au milieu du mur. Il est le "barycentre" des forces. Comme la pression est plus forte en bas (diagramme de type trapèze), le point d'application de la force résultante se trouvera logiquement dans la partie inférieure du mur, en dessous de la mi-hauteur.
Mini-Cours
On utilise le théorème des moments (ou théorème de Varignon). Le moment créé par la force résultante \(F_a\) par rapport à un point (par exemple, la base du mur) est égal à la somme des moments créés par chaque force composante (\(F_{a, \text{sol}}\) et \(F_{a, \text{surcharge}}\)) par rapport à ce même point. En posant cette égalité, on peut isoler la seule inconnue : la hauteur d'application \(z_a\).
Remarque Pédagogique
Connaître le point d'application est aussi important que de connaître la force elle-même. C'est ce qui va permettre de calculer le moment fléchissant maximal dans le mur (\(M_{\text{max}}\)), qui est souvent le critère de dimensionnement principal de la paroi (choix de l'épaisseur des profilés, etc.).
Normes
L'Eurocode 7 ne donne pas de formule directe mais exige que l'équilibre statique de la paroi soit vérifié. Ce calcul du point d'application est une étape indispensable pour vérifier l'équilibre en rotation (moment de renversement) et pour le calcul structurel interne.
Formule(s)
Théorème des moments
Hypothèses
Les bras de levier (H/3 et H/2) sont valables pour des formes de diagramme parfaitement triangulaires et rectangulaires.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Force due au sol | \( F_{a, \text{sol}} \) | 108 | kN/ml |
| Force due à la surcharge | \( F_{a, \text{surcharge}} \) | 30 | kN/ml |
| Force totale | \( F_a \) | 138 | kN/ml |
| Hauteur d'excavation | \( H \) | 6 | m |
Astuces
Le résultat de \(z_a\) doit obligatoirement être compris entre les points d'application des deux forces, c'est-à-dire entre H/3 (2 m) et H/2 (3 m). Si votre résultat est en dehors de cet intervalle, vous avez fait une erreur de calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Barycentre des Forces
Calcul(s)
Calcul du point d'application de la résultante (\(z_a\))
Schéma (Après les calculs)
Position de la Résultante Finale
Réflexions
Comme prévu, le point d'application (2.22 m) est bien situé entre 2 m et 3 m. Il est plus proche de 2 m car la force due au sol (108 kN/ml) est beaucoup plus importante que celle due à la surcharge (30 kN/ml), "tirant" ainsi le barycentre vers le bas.
Points de vigilance
L'erreur classique est de mal définir le point par rapport auquel on calcule les moments. Il faut être cohérent : si on choisit la base du mur comme pivot, tous les bras de levier (\(z_a\), H/3, H/2) doivent être mesurés depuis cette base.
Points à retenir
Synthèse de la Question 5 :
- Concept Clé : Le point d'application de la force totale est le barycentre des forces, calculé avec le théorème des moments.
- Formule Essentielle : \(z_a = (\sum F_i \cdot z_i) / F_{\text{totale}}\).
- Point de Vigilance Majeur : Toujours bien définir l'origine (le pivot) pour mesurer les bras de levier.
Le saviez-vous ?
Pour une paroi ancrée par des tirants, le moment fléchissant maximal ne se situe pas forcément au point d'application de la résultante. Il se trouve généralement au niveau du point de moment nul, souvent à proximité du premier lit de tirants. La détermination de sa position exacte est une étape clé du dimensionnement.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la surcharge était nulle (\(q=0\)), quelle serait la hauteur d'application \(z_a\) ? (Indice : il n'y a qu'une seule force à considérer).
Outil Interactif : Simulateur de Poussée
Utilisez les curseurs pour faire varier la profondeur de l'excavation, l'angle de frottement du sol et la surcharge. Observez l'impact en temps réel sur le coefficient de poussée, la force totale et le diagramme des contraintes.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. De quel paramètre principal dépend le coefficient de poussée active Kₐ (selon Rankine) ?
2. Quelle est la forme du diagramme de contrainte de poussée généré par une surcharge uniforme ?
3. Où s'applique la force résultante d'un diagramme de pression triangulaire (comme celui dû au poids du sol) ?
4. Si la profondeur de l'excavation double, comment évolue la force de poussée due au poids du sol seul ?
5. Pourquoi est-il essentiel de prendre en compte les surcharges en milieu urbain ?
- Poussée des terres
- Force latérale exercée par une masse de sol sur une structure de soutènement (mur, paroi, etc.).
- Angle de frottement interne (φ')
- Propriété intrinsèque d'un sol qui mesure sa résistance au cisaillement. Plus l'angle est élevé, plus le sol est résistant.
- Paroi Berlinoise
- Technique de soutènement provisoire et économique, constituée de profilés métalliques verticaux (les "montants") entre lesquels sont insérées des planches (le "blindage") au fur et à mesure de l'excavation.
- Surcharge d'exploitation (q)
- Toute charge appliquée à la surface du terrain derrière le mur, qui n'est pas due au poids propre du sol. En milieu urbain, cela inclut le trafic routier, les bâtiments avoisinants, le stockage de matériaux, etc.
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