Calcul du volume de déblai d’une fouille en pleine masse

Calcul du volume de déblai d'une fouille en pleine masse

Contexte : Les Mouvements de TerresEnsemble des opérations de modification du relief d'un terrain, incluant le déblai (enlèvement de terres) et le remblai (ajout de terres)..

Le calcul précis des volumes de déblai est une étape fondamentale dans tout projet de construction ou de génie civil. Il conditionne le coût du terrassement, la planification des engins, la logistique d'évacuation des terres et la gestion du chantier. Cet exercice porte sur une fouille en pleine masseExcavation sur la totalité de l'emprise d'un ouvrage, nécessaire pour réaliser les fondations ou les niveaux de sous-sol., une configuration très courante pour la création des fondations de bâtiments.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer une forme géométrique complexe (une fouille avec des parois inclinées) en éléments simples et à appliquer les bonnes formules pour déterminer un volume avec précision.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la notion de fouille en pleine masse et de talusParoi inclinée donnée aux terres pour assurer leur stabilité et éviter les éboulements..
Calculer les dimensions d'une excavation en surface à partir de ses dimensions en fond de fouille.
Appliquer des formules géométriques pour calculer des surfaces et des volumes.
Prendre en compte le phénomène de foisonnementAugmentation du volume des terres après leur extraction, due à la décompression et à l'incorporation de vides. pour estimer les volumes à transporter.

Données de l'étude

On souhaite réaliser une fouille en pleine masse pour les fondations d'un bâtiment. Le terrain naturel est considéré comme horizontal.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type de fouille	En pleine masse, à parois inclinées
Nature du terrain	Terre argileuse
Pente du talus (p)	2/3 (soit 2 unités horizontales pour 3 unités verticales)
Coefficient de foisonnement (Cf)	1.30

Schéma de la Fouille (Vue en plan et en coupe)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur du fond de fouille	L	12,0	m
Largeur du fond de fouille	l	8,0	m
Profondeur de la fouille	H	2,5	m
Pente du talus	p	2/3	sans unité

Questions à traiter

Calculer les dimensions en tête de fouille (Longueur L' et largeur l').
Calculer l'aire de la base (\(A_{\text{base}}\)), c'est-à-dire la surface du fond de fouille.
Calculer l'aire de la surface en tête de fouille (\(A_{\text{tête}}\)).
Calculer le volume de déblai en place (\(V_{\text{en place}}\)) avec la formule du prismoïde (dite de Simpson).
Calculer le volume foisonné (\(V_{\text{foisonné}}\)) à évacuer du chantier.

Les bases sur le Calcul de Volume et le Foisonnement

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser quelques concepts géométriques et physiques appliqués au terrassement.

1. Formule du prismoïde (Simpson)
Pour un calcul précis du volume d'une fouille, on utilise la formule du prismoïde qui intègre la section à mi-hauteur pour un résultat exact.

V = \frac{H}{6} \times (A_{\text{base}} + A_{\text{tête}} + 4 \times A_{\text{milieu}})

2. Le Foisonnement
Lorsqu'un sol est extrait, il se décompacte. Son volume augmente car de l'air s'intercale entre les particules. Ce phénomène est le foisonnement. Le volume à transporter est donc toujours supérieur au volume géométrique de la fouille.

V_{\text{foisonné}} = V_{\text{en place}} \times C_f

Correction : Calcul du volume de déblai d'une fouille en pleine masse

Question 1 : Calculer les dimensions en tête de fouille (L' et l')

Principe

Les parois de la fouille sont inclinées pour assurer la stabilité du terrain. Par conséquent, l'ouverture en surface (en tête) est plus grande que la base au fond de la fouille. Le concept physique est celui de la projection de la pente du talus sur le plan horizontal.

Mini-Cours

La pente d'un talus, notée 'p', est un rapport (distance horizontale / distance verticale). Pour une profondeur 'H', la surlargeur horizontale est 'p x H'. Puisque la fouille s'élargit des deux côtés, on doit ajouter deux fois cette surlargeur à la dimension de base pour obtenir la dimension en tête.

Remarque Pédagogique

Visualisez la fouille en coupe. Vous verrez un trapèze. La grande base est la largeur en tête, la petite base est la largeur en fond. La différence entre les deux est répartie de chaque côté. C'est la première étape cruciale avant tout calcul de volume.

Normes

Bien que nous utilisions une pente fixe de 2/3, en pratique, le choix de la pente dépend de la nature du sol et est régi par des normes géotechniques (comme la norme NF P 94-500 en France) qui définissent les angles de talus sécuritaires pour éviter les éboulements.

Formule(s)

Formule de la longueur en tête

L' = L + 2 \times (p \times H)

Formule de la largeur en tête

l' = l + 2 \times (p \times H)

Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :

Le terrain naturel est parfaitement horizontal.
La pente du talus est constante sur toute la profondeur et sur les quatre faces.
Les angles du fond de fouille sont des angles droits.

Donnée(s)

Nous reprenons les données de l'énoncé nécessaires.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur en fond	L	12,0	m
Largeur en fond	l	8,0	m
Profondeur	H	2,5	m
Pente (rapport H/V)	p	2/3	-

Astuces

Pour éviter les erreurs d'arrondi, il est parfois plus simple de travailler avec des fractions. La surlargeur totale est de \(2 \times \frac{2}{3} \times 2,5 = \frac{10}{3} \approx 3,33 \text{ m}\).

Schéma (Avant les calculs)

Vue en coupe pour le calcul de l'

Calcul(s)

Calcul de la longueur en tête L'

\begin{aligned} L' &= 12,0 + 2 \times (\frac{2}{3} \times 2,5) \\ &= 12,0 + 3,33 \\ &= 15,33 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de la largeur en tête l'

\begin{aligned} l' &= 8,0 + 2 \times (\frac{2}{3} \times 2,5) \\ &= 8,0 + 3,33 \\ &= 11,33 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Dimensions finales de la fouille

Réflexions

Le résultat montre que l'emprise au sol de la fouille (15,33m x 11,33m) est significativement plus grande que la surface des fondations elles-mêmes (12m x 8m). Cette information est capitale pour implanter le projet sur le terrain et gérer les distances avec les limites de propriété.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'oublier de multiplier la surlargeur par 2. Le talus s'applique de chaque côté de la fouille, il faut donc l'ajouter à gauche ET à droite (ou en haut et en bas sur le plan).

Points à retenir

La dimension en tête est toujours la dimension en fond à laquelle on ajoute deux fois le produit de la pente par la profondeur : Dimension(tête) = Dimension(fond) + 2 * p * H.

Le saviez-vous ?

Dans les chantiers de grande envergure, les calculs de déblai sont aujourd'hui réalisés par des logiciels de topographie et de CAO qui modélisent le terrain en 3D (Modèle Numérique de Terrain) pour une précision millimétrique.

FAQ

Résultat Final

Les dimensions en tête de fouille sont de 15,33 m pour la longueur (L') et 11,33 m pour la largeur (l').

A vous de jouer

Si la profondeur (H) était de 3,0 m (avec p=2/3), quelle serait la nouvelle largeur en tête (l') ?

Question 2 : Calculer l'aire de la base (\(A_{\text{base}}\))

Principe

L'aire de la base est la surface rectangulaire au fond de l'excavation. C'est sur cette surface que reposeront les fondations du bâtiment.

Mini-Cours

La géométrie euclidienne nous enseigne que l'aire d'un rectangle est le produit de ses deux dimensions orthogonales. Ce concept est la base de nombreux calculs de surface en construction.

Remarque Pédagogique

Ce calcul est simple mais fondamental. C'est l'une des deux surfaces de référence qui nous permettront de calculer le volume. Assurez-vous de bien identifier les bonnes dimensions (celles du FOND de fouille).

Normes

Non applicable pour un simple calcul de surface.

Formule(s)

Formule de l'aire du rectangle

A_{\text{base}} = L \times l

Hypothèses

On suppose que le fond de fouille est parfaitement plan et rectangulaire.

Donnée(s)

On utilise les dimensions L et l de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur en fond	L	12,0	m
Largeur en fond	l	8,0	m

Astuces

Aucune astuce particulière ici, c'est une multiplication directe.

Schéma (Avant les calculs)

Dimensions du Fond de Fouille

Calcul(s)

Calcul de l'aire de la base

\begin{aligned} A_{\text{base}} &= 12,0 \text{ m} \times 8,0 \text{ m} \\ &= 96,0 \text{ m}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Surface du Fond de Fouille Calculée

Réflexions

Cette surface de 96 m² représente l'emprise exacte de l'ouvrage à construire au niveau le plus bas.

Points de vigilance

Attention aux unités ! Le résultat doit être exprimé en mètres carrés (m²).

Points à retenir

L'aire de la base est la première des trois aires de référence (base, milieu, tête) nécessaires pour un calcul de volume précis avec la méthode de Simpson.

Le saviez-vous ?

Le concept de mesure des surfaces (l'arpentage) remonte à l'Égypte ancienne. Les crues du Nil effaçaient les limites des champs, et les "arpenteurs" devaient recalculer chaque année les surfaces agricoles pour la collecte des impôts.

FAQ

Résultat Final

L'aire du fond de fouille \(A_{\text{base}}\) est de 96,0 m².

A vous de jouer

Quelle serait l'aire de la base si la largeur (l) était de 10 m ?

Question 3 : Calculer l'aire de la surface en tête de fouille (\(A_{\text{tête}}\))

Principe

Tout comme pour la base, il s'agit de calculer l'aire d'un rectangle, mais cette fois en utilisant les dimensions de l'ouverture de la fouille au niveau du sol.

Mini-Cours

La méthode est identique à celle de la question 2. L'objectif est de définir la surface d'emprise totale du terrassement au niveau du terrain naturel. Cette surface est cruciale pour le piquetage du chantier.

Remarque Pédagogique

Ne vous trompez pas de dimensions ! Utilisez bien L' et l' que vous avez calculées à la première question, et non les dimensions du fond de fouille L et l.

Normes

Non applicable.

Formule(s)

Formule de l'aire en tête

A_{\text{tête}} = L' \times l'

Hypothèses

On suppose que la surface en tête est un rectangle parfait.

Donnée(s)

On utilise les résultats de la question 1.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur en tête	L'	15,33	m
Largeur en tête	l'	11,33	m

Astuces

Aucune astuce particulière.

Schéma (Avant les calculs)

Dimensions en Tête de Fouille

Calcul(s)

Calcul de l'aire en tête

\begin{aligned} A_{\text{tête}} &= 15,33 \text{ m} \times 11,33 \text{ m} \\ &= 173,69 \text{ m}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Surface en Tête de Fouille Calculée

Réflexions

L'aire en tête (173,69 m²) est nettement supérieure à l'aire en fond (96 m²). Cela montre l'impact majeur du talutage sur l'emprise du chantier et, par conséquent, sur le volume de terre à excaver.

Points de vigilance

Une erreur dans le calcul de L' ou l' à la question 1 se répercutera directement et amplifiera l'erreur sur le calcul de cette aire, puis sur le calcul final du volume. La rigueur est de mise à chaque étape.

Points à retenir

L'aire en tête est la deuxième aire de référence pour le calcul de volume. Elle représente la "bouche" de l'excavation.

Le saviez-vous ?

Le mot "cadastre", qui sert à définir les surfaces des parcelles de terrain, vient du latin "capitastrum", un registre d'impôt par tête (capita) sous l'Empire romain, qui était basé sur la surface des terres possédées.

FAQ

Résultat Final

L'aire en tête de fouille \(A_{\text{tête}}\) est de 173,69 m².

A vous de jouer

En gardant H=2,5m et p=2/3, si L=20m et l=10m, quelle serait la nouvelle aire en tête A_tête ? (Indice : recalculez d'abord L' et l').

Question 4 : Calculer le volume de déblai en place (\(V_{\text{en place}}\)) avec la formule du prismoïde (Simpson)

Principe

Le concept est d'utiliser une formule d'intégration numérique évoluée (la méthode de Simpson) qui est mathématiquement exacte pour un prismoïde. Elle utilise non seulement les aires des extrémités mais aussi l'aire de la section à mi-hauteur, pondérée par un facteur 4, pour modéliser parfaitement la variation du volume.

Mini-Cours

La formule du prismoïde est une application de la méthode d'intégration de Simpson 1/3, qui approxime une fonction par un polynôme du second degré. Pour un tronc de pyramide ou un prismoïde, dont l'aire de la section est une fonction du second degré de la hauteur, cette formule donne le résultat exact, et non une approximation.

Remarque Pédagogique

C'est la méthode de référence pour les métrés en terrassement. Elle demande un calcul intermédiaire (la section à mi-hauteur) mais garantit une précision qui justifie cet effort supplémentaire. C'est la méthode qu'un professionnel doit utiliser pour le chiffrage.

Normes

Les fascicules techniques de métré, comme le CCTG en France, préconisent l'usage de cette formule pour le calcul des volumes de terrassement afin de garantir l'équité dans les transactions commerciales basées sur les quantités.

Formule(s)

Formule du volume de Simpson

V = \frac{H}{6} \times (A_{\text{base}} + A_{\text{tête}} + 4 \times A_{\text{milieu}})

Hypothèses

La seule hypothèse est que le solide est un prismoïde parfait, c'est-à-dire que les parois sont des plans reliant les arêtes de la base aux arêtes du sommet.

Donnée(s)

On utilise les données et les aires déjà calculées.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Aire de la base	A_base	96,0	m²
Aire en tête	A_tête	173,69	m²
Profondeur	H	2,5	m

Astuces

Pour calculer les dimensions à mi-hauteur, il suffit de prendre la moyenne des dimensions en base et en tête : \(L_{\text{milieu}} = (L + L') / 2\) et \(l_{\text{milieu}} = (l + l') / 2\). C'est plus rapide que de refaire le calcul avec H/2.

Schéma (Avant les calculs)

Prismoïde avec section à mi-hauteur

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la longueur à mi-hauteur

\begin{aligned} L_{\text{milieu}} &= L + 2 \times (p \times \frac{H}{2}) \\ &= 12,0 + 2 \times (\frac{2}{3} \times 1,25) \\ &= 12,0 + 1,67 \\ &= 13,67 \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la largeur à mi-hauteur

\begin{aligned} l_{\text{milieu}} &= l + 2 \times (p \times \frac{H}{2}) \\ &= 8,0 + 2 \times (\frac{2}{3} \times 1,25) \\ &= 8,0 + 1,67 \\ &= 9,67 \text{ m} \end{aligned}

Étape 3 : Calcul de l'aire à mi-hauteur

\begin{aligned} A_{\text{milieu}} &= L_{\text{milieu}} \times l_{\text{milieu}} \\ &= 13,67 \text{ m} \times 9,67 \text{ m} \\ &= 132,19 \text{ m}^2 \end{aligned}

Étape 4 : Application de la formule de Simpson

\begin{aligned} V &= \frac{H}{6} \times (A_{\text{base}} + A_{\text{tête}} + 4 \times A_{\text{milieu}}) \\ &= \frac{2,5}{6} \times (96,0 + 173,69 + 4 \times 132,19) \\ &= \frac{2,5}{6} \times (269,69 + 528,76) \\ &= \frac{2,5}{6} \times 798,45 \\ &= 332,69 \text{ m}^3 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Volume en Place Calculé

Réflexions

Ce volume de 332,69 m³ est le volume géométrique de terre à extraire. Il sert de base pour tous les autres calculs, notamment le calcul du volume à transporter et facturer.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente dans la formule de Simpson est d'oublier de multiplier l'aire du milieu par 4. C'est ce facteur de pondération qui donne à la formule toute sa précision.

Points à retenir

Pour un calcul de volume de terrassement précis, la formule du prismoïde (Simpson) est la référence. Elle nécessite le calcul de 3 aires (base, tête, milieu) et s'applique via la formule V = H/6 * (A_base + A_tête + 4*A_milieu).

Le saviez-vous ?

Thomas Simpson, mathématicien anglais du 18ème siècle, a popularisé cette formule, mais elle était déjà connue plus de 1500 ans auparavant ! On en trouve une description dans les travaux de Johannes Kepler et même des traces sur des papyrus égyptiens pour le calcul du volume de pyramides tronquées.

FAQ

Résultat Final

Le volume de déblai en place, calculé par la formule de Simpson, est de 332,69 m³.

A vous de jouer

En utilisant les aires \(A_{\text{base}}\)=50, \(A_{\text{tête}}\)=150, et une aire à mi-hauteur \(A_{\text{milieu}}\)=95 m² (pour H=4m), quel serait le volume de Simpson ?

Question 5 : Calculer le volume foisonné (\(V_{\text{foisonné}}\)) à évacuer

Principe

Le concept physique est la décompression de la matière. La terre, compactée dans le sol depuis des milliers d'années, se détend lorsqu'elle est excavée. Les particules s'écartent les unes des autres et de l'air remplit les vides créés, ce qui augmente le volume apparent du matériau.

Mini-Cours

Le foisonnement est une caractéristique intrinsèque des sols. Il est quantifié par un coefficient \(C_f\) supérieur à 1. Ce coefficient est déterminé par des essais en laboratoire ou estimé à partir de tables basées sur la nature du sol (sable, argile, roche, etc.). Le volume à transporter est toujours le volume en place multiplié par ce coefficient.

Remarque Pédagogique

C'est une étape cruciale pour la logistique et le budget. Oublier le foisonnement, c'est sous-estimer de 20 à 80% le nombre de camions nécessaires, le coût du transport et le coût de mise en décharge. C'est une erreur qui peut coûter très cher sur un chantier.

Normes

Le coefficient de foisonnement à utiliser est souvent une donnée contractuelle précisée dans le Cahier des Clauses Techniques Particulières (CCTP) d'un marché de travaux pour éviter tout litige lors de la facturation.

Formule(s)

Formule du volume foisonné

V_{\text{foisonné}} = V_{\text{en place}} \times C_f

Hypothèses

On suppose que le coefficient de foisonnement de 1.30 est constant et représentatif de l'ensemble des terres excavées.

Donnée(s)

On utilise le volume calculé à la question 4 et le coefficient de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Volume en place	\(V_{\text{en place}}\)	332,69	m³
Coefficient de foisonnement	\(C_f\)	1,30	-

Astuces

Aucune astuce particulière, il s'agit d'une simple multiplication.

Schéma (Avant les calculs)

Illustration du Foisonnement

Calcul(s)

Calcul du volume foisonné

\begin{aligned} V_{\text{foisonné}} &= 332,69 \text{ m}^3 \times 1,30 \\ &= 432,50 \text{ m}^3 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des Volumes

Réflexions

Le volume à transporter n'est pas de 332,69 m³ mais de 432,50 m³, soit près de 100 m³ de plus ! Si un camion a une benne de 10 m³, il faudra prévoir 44 rotations (432,50 / 10 = 43,25) et non 34. Cette différence de 10 voyages a un impact direct sur le coût et la durée du chantier.

Points de vigilance

Ne jamais confondre le volume en place (volume géométrique) qui sert au métré de l'excavation, et le volume foisonné qui sert à la planification des transports et à la facturation de l'évacuation des déblais.

Points à retenir

Le calcul du volume à transporter se fait en deux temps : 1. Calcul du volume géométrique en place (avec Simpson). 2. Application du coefficient de foisonnement adapté à la nature du sol.

Le saviez-vous ?

Le phénomène inverse existe : le tassement. Lorsqu'on met en place un remblai, on le compacte pour chasser l'air et assurer sa stabilité. Le volume de remblai compacté est donc inférieur au volume foisonné des terres apportées. On parle alors de coefficient de tassement (inférieur à 1).

FAQ

Résultat Final

Le volume de déblai foisonné à évacuer du chantier est de 432,50 m³.

A vous de jouer

Si le sol était rocheux et nécessitait un dynamitage (\(C_f = 1.60\)), quel serait le volume foisonné à évacuer (à partir de notre \(V_{\text{en place}}\) de 332,69 m³)?

Outil Interactif : Simulateur de Volume de Fouille

Utilisez les curseurs pour faire varier les dimensions de la fouille (avec un talus de 2/3) et observez l'impact direct sur le volume de déblai à excaver.

Paramètres d'Entrée

Longueur fond de fouille (L) (m) 12 m

Largeur fond de fouille (l) (m) 8 m

Profondeur (H) (m) 2.5 m

Résultats Clés

Volume en Place (m³) -

Volume Foisonné (Cf=1.3) (m³) -

Glossaire

Déblai: Ensemble des terres excavées d'un terrain lors de travaux de terrassement. Le volume de déblai est le volume de terre retiré.
Foisonnement: Augmentation du volume apparent d'un matériau (terre, roche) après son extraction et sa décompression. Il est quantifié par un coefficient supérieur à 1.
Fouille en pleine masse: Excavation portant sur la totalité de l'emprise d'un ouvrage (bâtiment, radier, etc.) pour en réaliser l'infrastructure.
Formule du prismoïde (Simpson): Méthode de calcul de volume pour un solide borné par deux faces parallèles (bases) et une surface latérale. Elle offre une grande précision.
Talus: Surface inclinée d'un terrain, naturelle ou artificielle. En terrassement, on crée des talus pour assurer la stabilité des terres et éviter les éboulements.

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