Calcul de la portance d'un sol argileux
Contexte : Le calcul de la portanceLa portance (ou capacité portante) est la pression maximale que le sol peut supporter avant de rompre. C'est une donnée cruciale pour le dimensionnement des fondations. d'une fondation superficielle.
Cet exercice vous guide à travers les étapes de calcul de la capacité portante d'une semelle filante reposant sur un sol argileux saturé. La détermination de la portance est une étape fondamentale en génie civil pour assurer la stabilité et la sécurité des ouvrages en transmettant leurs charges au sol sans risque de rupture ou de tassement excessif.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de maîtriser l'application de la formule de Terzaghi dans le cas spécifique et très courant des sols purement cohésifs en conditions non drainées, une compétence essentielle pour tout projet de terrassement et de fondation.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la méthode de Terzaghi pour le calcul de la portance.
- Identifier les paramètres géotechniques clés d'un sol argileux (\(c_u, \phi_u, \gamma\)).
- Calculer la portance ultime et la portance admissible d'une semelle filante.
- Comprendre l'importance du facteur de sécurité dans le dimensionnement des fondations.
Données de l'étude
Fiche Technique du Projet
| Caractéristique | Description |
|---|---|
| Type de fondation | Semelle filante |
| Matériau | Béton armé |
| Nature du sol | Argile saturée, homogène |
Schéma de la fondation
| Paramètre Géotechnique | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Largeur de la semelle | \(B\) | 1.20 | \(\text{m}\) |
| Profondeur d'encastrement | \(D\) | 1.50 | \(\text{m}\) |
| Poids volumique du sol | \(\gamma\) | 19 | \(\text{kN/m³}\) |
| Cohésion non drainée | \(c_u\) | 40 | \(\text{kPa}\) |
| Angle de frottement non drainé | \(\phi_u\) | 0 | \(\text{°}\) |
| Facteur de sécurité global | \(\text{FS}\) | 3 | - |
Questions à traiter
- Calculer la contrainte verticale totale (\(q\)) due au poids des terres au niveau de la base de la semelle.
- Déterminer les facteurs de portance (\(N_c, N_q, N_\gamma\)) pour un sol avec un angle de frottement nul (\(\phi_u=0°\)).
- Calculer la capacité portante ultime (\(q_u\)).
- En déduire la capacité portante admissible (\(q_{\text{adm}}\)) en appliquant le facteur de sécurité global.
- La semelle doit supporter une charge de service de \(Q_{\text{serv}} = 160\) kN par mètre linéaire. La fondation est-elle adéquatement dimensionnée ?
Les bases sur la Portance des Sols
La capacité portante d'un sol est sa capacité à supporter les charges appliquées par une fondation. L'ingénieur Karl von Terzaghi a été le premier à présenter une théorie complète pour l'évaluation de la capacité portante ultime des fondations superficielles. L'équation générale est :
Cas des argiles saturées (Conditions non drainées)
Pour les argiles saturées soumises à un chargement rapide, on analyse leur comportement en conditions non drainées. Dans ce cas, l'angle de frottement interne est considéré comme nul (\(\phi_u = 0°\)). La cohésion est appelée cohésion non drainée (\(c_u\)).
Simplification de la formule
Quand \(\phi_u = 0°\), les facteurs de portance prennent des valeurs fixes : \(N_c = 5.14\), \(N_q = 1\) et \(N_\gamma = 0\). L'équation de Terzaghi se simplifie considérablement, le terme dépendant de la largeur de la semelle (\(B\)) disparaît :
\[q_u = c_u N_c + q N_q\]
Correction : Calcul de la portance d'un sol argileux
Question 1 : Calculer la contrainte verticale totale (\(q\))
Principe
La contrainte \(q\) représente le poids des terres situées au-dessus du niveau de la base de la fondation. C'est une surcharge qui aide à "confiner" le sol sous la semelle et participe donc à la portance en augmentant la résistance à la rupture.
Mini-Cours
En géotechnique, on distingue la contrainte totale (\(\sigma\)) et la contrainte effective (\(\sigma'\)). La contrainte totale est le poids total des terres et de l'eau. La contrainte effective est la contrainte supportée par le squelette solide du sol. Pour une analyse à court terme (non drainée) dans une argile saturée, on travaille en contraintes totales.
Remarque Pédagogique
Ce calcul est la première étape de quasi tous les problèmes de fondations. Il est crucial de le maîtriser parfaitement. Imaginez que vous creusez un trou : \(q\) est simplement le poids de la terre que vous avez retirée sur la surface de votre fondation.
Normes
Le calcul de cette surcharge est une exigence fondamentale des normes de calcul géotechnique, comme l'Eurocode 7 (NF EN 1997-1), qui stipule de prendre en compte le poids des terres au-dessus du niveau de la fondation.
Formule(s)
Formule de la contrainte de surcharge
Hypothèses
Pour ce calcul, on pose les hypothèses suivantes :
- Le sol est homogène sur toute la hauteur D (son poids volumique \(\gamma\) est constant).
- Le niveau du sol est horizontal.
- La nappe phréatique est suffisamment profonde pour ne pas influencer le poids volumique total des terres au-dessus de la base.
Donnée(s)
Nous utilisons les données de l'énoncé relatives au sol et à la géométrie de la fondation.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Poids volumique du sol | \(\gamma\) | 19 | \(\text{kN/m³}\) |
| Profondeur d'encastrement | \(D\) | 1.5 | \(\text{m}\) |
Astuces
Pour un ordre de grandeur rapide, considérez qu'un sol a un poids volumique d'environ 20 kN/m³. La contrainte \(q\) (en kPa) sera donc environ \(20 \times D\) (en m). Ici, \(20 \times 1.5 = 30\) kPa, ce qui est très proche de notre résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma visualise la hauteur de sol D dont on calcule le poids. La zone hachurée représente la masse de sol qui génère la contrainte \(q\) à la base de la fondation.
Visualisation de la surcharge \(q\)
Calcul(s)
Application numérique et conversion
Réflexions
Une contrainte de 28.5 kPa équivaut au poids d'environ 2.85 tonnes par mètre carré. C'est la pression que les terres exercent naturellement à 1.50m de profondeur et qui aidera le sol à résister à la charge de la fondation.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune ici est l'unité. Assurez-vous que le poids volumique est en kN/m³ et la profondeur en m. Le résultat sera alors directement en kN/m², c'est-à-dire en kPa.
Points à retenir
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : La contrainte de surcharge \(q\) est le poids des terres au-dessus de la base de la fondation.
- Formule Essentielle : \(q = \gamma \times D\).
Le saviez-vous ?
Le concept de contrainte a été formalisé par Augustin-Louis Cauchy au 19ème siècle. Cependant, c'est Karl von Terzaghi, au début du 20ème, qui l'a appliqué de manière systématique à l'étude des sols, fondant ainsi la mécanique des sols moderne.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la profondeur d'ancrage était de 2.0 m, quelle serait la nouvelle valeur de \(q\) (en kPa) ?
Question 2 : Déterminer les facteurs de portance (\(N_c, N_q, N_\gamma\))
Principe
Les facteurs de portance sont des coefficients sans dimension qui modélisent la manière dont le sol se mobilise et rompt sous la fondation. Ils dépendent uniquement de l'angle de frottement du sol. Chaque facteur est associé à une composante de la résistance : \(N_c\) pour la cohésion, \(N_q\) pour la surcharge et \(N_\gamma\) pour le poids du sol.
Mini-Cours
Ces facteurs proviennent de la résolution de l'équilibre plastique d'une masse de sol sous une charge. Pour \(\phi_u=0°\), le mécanisme de rupture est un simple cercle (analyse de Prandtl), ce qui mène à des valeurs constantes pour les facteurs.
Remarque Pédagogique
Il n'y a pas de calcul à faire ici, c'est une application directe d'un résultat théorique fondamental. Le point clé est de reconnaître que la condition "sol argileux saturé" implique une analyse à court terme avec \(\phi_u=0°\).
Normes
Les valeurs de ces facteurs sont données dans des abaques et des tableaux dans toutes les normes de géotechnique, y compris l'Eurocode 7. Les valeurs pour \(\phi=0\) sont universellement reconnues.
Donnée(s)
La seule donnée nécessaire pour cette question est la condition sur l'angle de frottement.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Angle de frottement non drainé | \(\phi_u\) | 0 | \(\text{°}\) |
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma montre la fondation sur un sol dont la propriété de frottement est nulle, seule la cohésion \(c_u\) contribue à la résistance intrinsèque.
Sol purement cohésif
Abaques et Tableaux de Référence
Les valeurs des facteurs de portance sont généralement obtenues à partir de tableaux normalisés ou de graphiques (abaques) qui les relient à l'angle de frottement \(\phi\). Voici les valeurs classiques selon la théorie de Terzaghi.
| Angle \(\phi\) (°) | \(N_c\) | \(N_q\) | \(N_\gamma\) |
|---|---|---|---|
| 0 | 5.14 | 1.0 | 0.0 |
| 5 | 6.49 | 1.6 | 0.5 |
| 10 | 8.34 | 2.5 | 1.2 |
| 15 | 10.97 | 3.9 | 2.5 |
| 20 | 14.83 | 6.4 | 5.4 |
| 25 | 20.72 | 10.7 | 10.9 |
| 30 | 30.14 | 18.4 | 22.4 |
| 35 | 46.12 | 33.3 | 48.0 |
| 40 | 75.31 | 64.2 | 109.4 |
Abaque des facteurs de portance (Terzaghi)
Points à retenir
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : Pour un sol purement cohésif (\(\phi_u=0°\)), les facteurs de portance sont des constantes.
- Valeurs Essentielles : \(N_c = 5.14\), \(N_q = 1\), \(N_\gamma = 0\).
Le saviez-vous ?
La valeur de \(N_c=5.14\) n'est pas arbitraire, elle correspond à \(\pi+2\). Ce résultat élégant découle de l'analyse de Prandtl sur le poinçonnement d'un milieu parfaitement plastique.
FAQ
Résultat Final
Question 3 : Calculer la capacité portante ultime (\(q_u\))
Principe
La capacité portante ultime (\(q_u\)) est la pression maximale que la fondation peut appliquer au sol juste avant que celui-ci ne cède par rupture. C'est la somme des résistances mobilisées par la cohésion du sol et par la surcharge des terres.
Mini-Cours
L'équation de Terzaghi est une superposition de trois effets. En conditions non drainées (\(\phi_u=0°\)), la résistance ne dépend que de deux termes : la cohésion (\(c_u N_c\)), qui est une propriété intrinsèque du matériau, et la surcharge (\(q N_q\)), qui représente le confinement du sol.
Remarque Pédagogique
La portance ultime est une valeur théorique de rupture. Dans la pratique, on ne l'utilise jamais directement pour le dimensionnement. Elle sert de base pour calculer la charge de service que l'on pourra réellement appliquer en toute sécurité.
Normes
L'équation de Terzaghi, ou ses variantes (Meyerhof, Hansen, Vesic), est la base de tous les calculs de fondations superficielles prescrits par l'Eurocode 7 et les autres codes de construction.
Formule(s)
Formule de la portance ultime (cas \(\phi_u=0°\))
Donnée(s)
On rassemble les données de l'énoncé et les résultats des questions précédentes.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Cohésion non drainée | \(c_u\) | 40 | \(\text{kPa}\) |
| Contrainte des terres | \(q\) | 28.5 | \(\text{kPa}\) |
| Facteur de portance | \(N_c\) | 5.14 | - |
| Facteur de portance | \(N_q\) | 1 | - |
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma illustre les deux composantes qui contribuent à la portance ultime : la résistance due à la cohésion sur la ligne de rupture et la résistance due à la surcharge des terres sur les côtés.
Composantes de la portance ultime
Calcul(s)
Application numérique et résolution
Schéma (Après les calculs)
Le diagramme représente la valeur calculée de la portance ultime et la contribution relative de chaque terme (cohésion et surcharge).
Répartition de la portance ultime
Réflexions
On observe que la contribution de la cohésion (205.6 kPa) est beaucoup plus importante que celle de la surcharge (28.5 kPa). C'est typique pour les fondations superficielles dans les sols argileux raides.
Points de vigilance
Assurez-vous d'utiliser la cohésion non drainée (\(c_u\)) et non la cohésion effective (\(c'\)) pour une analyse à court terme dans l'argile. Utiliser le mauvais paramètre de cohésion est une erreur grave.
Points à retenir
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : La portance ultime est la somme des termes de cohésion et de surcharge.
- Formule Essentielle : \(q_u = c_u N_c + q N_q\).
Résultat Final
Question 4 : Calculer la capacité portante admissible (\(q_{\text{adm}}\))
Principe
La portance ultime représente la rupture. En pratique, on ne s'approche jamais de cette valeur pour des raisons de sécurité et pour limiter les tassements. On applique un facteur de sécurité pour obtenir la charge maximale que l'on s'autorise à appliquer sur le sol : la portance admissible.
Mini-Cours
Le facteur de sécurité global (FS) couvre les incertitudes sur les charges appliquées, sur les propriétés du sol (qui sont variables par nature) et sur les imperfections du modèle de calcul. Une valeur de 3 est courante pour les fondations superficielles et représente un bon compromis entre sécurité et économie.
Remarque Pédagogique
Le choix du facteur de sécurité est une décision d'ingénieur. Il peut être augmenté si la reconnaissance des sols est de mauvaise qualité ou si l'ouvrage est particulièrement sensible (hôpital, centrale nucléaire). Il peut être légèrement réduit si les données géotechniques sont très fiables.
Normes
L'utilisation de facteurs de sécurité est une approche de calcul aux états limites. L'Eurocode 7 utilise une approche semi-probabiliste avec des facteurs partiels sur les actions et les résistances, mais l'approche globale avec un FS reste très utilisée pour des vérifications préliminaires.
Formule(s)
Formule de la portance admissible
Donnée(s)
On utilise le résultat de la question précédente et le facteur de sécurité de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Portance ultime | \(q_u\) | 234.1 | \(\text{kPa}\) |
| Facteur de sécurité | \(\text{FS}\) | 3 | - |
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma illustre le concept de division de la capacité ultime par le facteur de sécurité pour définir une zone de travail sûre, loin de la rupture.
Concept du Facteur de Sécurité
Calcul(s)
Application numérique
Réflexions
Le sol peut donc supporter en toute sécurité une pression de 78.03 kPa. Cela correspond au poids d'environ 7.8 tonnes par mètre carré. C'est cette valeur qui sera utilisée pour vérifier la conception de l'ingénieur.
Points de vigilance
Ne jamais oublier le facteur de sécurité. Concevoir une fondation sur la base de la portance ultime est une erreur qui mènerait inévitablement à la ruine de l'ouvrage.
Résultat Final
Question 5 : Vérifier le dimensionnement de la fondation
Principe
La vérification finale consiste à s'assurer que la contrainte réellement transmise par la structure au sol (\(\sigma_{\text{serv}}\)) est inférieure à ce que le sol peut admettre en toute sécurité (\(q_{\text{adm}}\)). C'est le critère fondamental de sécurité vis-à-vis de la rupture du sol.
Mini-Cours
Cette étape est l'aboutissement du dimensionnement de fondation. Elle applique le principe fondamental de l'ingénierie des structures : la sollicitation (la contrainte appliquée) doit être inférieure à la résistance (la contrainte admissible). Si ce n'est pas le cas, la structure n'est pas considérée comme sûre.
Remarque Pédagogique
Cette comparaison est le "verdict" du calcul. C'est une simple comparaison de deux nombres, mais elle conditionne la validité de toute la conception de la fondation. Une réponse "Non validé" impose à l'ingénieur de revoir sa copie : augmenter la largeur, approfondir la fondation, etc.
Normes
Cette vérification correspond à la justification de l'État Limite Ultime (ELU) de type GEO, qui vise à prévenir la rupture du sol. La condition à vérifier est que la valeur de calcul de l'action (\(E_d\)) doit être inférieure ou égale à la valeur de calcul de la résistance (\(R_d\)).
Formule(s)
Formule de la contrainte de service
Critère de vérification
Donnée(s)
On utilise les données de charge de l'énoncé et les résultats précédents.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Charge de service | \(Q_{\text{serv}}\) | 160 | \(\text{kN/m}\) |
| Largeur de la semelle | \(B\) | 1.2 | \(\text{m}\) |
| Portance admissible | \(q_{\text{adm}}\) | 78.03 | \(\text{kPa}\) |
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma montre la charge de service qui va être appliquée sur la semelle. Le calcul consiste à transformer cette charge linéaire en une contrainte surfacique.
Application de la charge de service
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la contrainte de service
Étape 2 : Comparaison au critère
Schéma (Après les calculs)
Le diagramme ci-dessous compare la contrainte appliquée par la fondation à la résistance admissible du sol. La barre rouge (contrainte) dépassant largement la barre verte (résistance) montre visuellement que le dimensionnement est incorrect.
Comparaison Contrainte / Résistance
Réflexions
La contrainte appliquée par la structure est presque le double de la contrainte admissible par le sol. Le critère de sécurité n'est pas respecté. Cela signifie qu'il y a un risque élevé de rupture du sol sous la fondation (poinçonnement) et/ou de tassements très importants.
Points de vigilance
Attention à bien comparer des grandeurs homogènes : une contrainte (en kPa) avec une autre contrainte (en kPa). Ne comparez pas une force (kN) à une contrainte (kPa).
Points à retenir
Synthèse de la Question 5 :
- Concept Clé : La sécurité d'une fondation est assurée si la contrainte appliquée est inférieure à la contrainte admissible.
- Formule Essentielle : \(\sigma_{\text{serv}} \le q_{\text{adm}}\).
Le saviez-vous ?
La Tour de Pise est l'exemple le plus célèbre d'un problème de capacité portante. Le sol sous le côté sud de la tour est plus compressible, ce qui a entraîné des tassements différentiels et l'inclinaison que nous connaissons. Les ingénieurs n'avaient pas, à l'époque, les outils de la mécanique des sols moderne pour anticiper ce phénomène.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Pour que la fondation soit acceptable, il faudrait augmenter sa largeur. Quelle largeur minimale (en m) faudrait-il pour que \(\sigma_{\text{serv}} \approx q_{\text{adm}}\) (en considérant que \(q_{\text{adm}}\) ne change pas significativement avec B) ?
Outil Interactif : Simulateur de Portance
Utilisez cet outil pour visualiser l'impact de la cohésion du sol et de la profondeur de la fondation sur la capacité portante admissible. Les autres paramètres (B=1.2m, \(\gamma\)=19kN/m³, FS=3) sont fixes.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Pour un sol purement cohésif en conditions non drainées, quelle est la valeur de l'angle de frottement interne (\(\phi_u\))?
2. Dans l'équation de portance de Terzaghi, que représente le terme 'q' ?
3. Quel facteur de portance est nul pour un sol purement cohésif (\(\phi_u=0°\))?
4. L'augmentation de la largeur (B) d'une semelle sur une argile saturée (\(\phi_u=0°\)) a un effet...
5. Un facteur de sécurité de 3 est utilisé. Si la portance ultime (\(q_u\)) est de 300 kPa, quelle est la portance admissible (\(q_{\text{adm}}\))?
Glossaire
- Portance (Capacité Portante)
- La contrainte (ou pression) maximale que le sol peut supporter avant de rompre par cisaillement.
- Cohésion non drainée (\(c_u\))
- La résistance au cisaillement d'un sol fin (argile, limon) saturé lorsqu'il est chargé rapidement, sans que l'eau interstitielle ait le temps de s'évacuer.
- Semelle Filante
- Une fondation superficielle de forme allongée, généralement située sous un mur porteur, qui répartit les charges de manière linéaire sur le sol.
- Facteur de Sécurité (FS)
- Coefficient par lequel on divise la charge de rupture (ultime) pour déterminer la charge de service (admissible), afin de garantir une marge de sécurité contre la défaillance.
0 commentaires